baza dualna

[athena]

Mam kilka zadań, w których należy znaleźć bazę dualną do danej i nie bardzo wiem jak się do tego w ogóle zabrać. Czy mógłby mi ktoś pokazać krok po kroku jak dojść do wyniku? Dla przykładu w \(\displaystyle{ R^{3}}\) znaleźć bazę dualną do (1,0,0), (1,-1,0) (1,0,-1). Z góry dziękuję za wytłumaczenie problemu

[liu]

Jesli V jest przestrzenia liniowa (skonczonego wymiaru) w ktorej wyroznilismy baze \(\displaystyle{ (e_1, \ldots, e_n)}\) to baze dualna do tej bazy definiujemy jako uklad \(\displaystyle{ (e^*_1, \ldots, e^*_n)}\), gdzie funkcjonal \(\displaystyle{ e^*_i}\) jest zadany poprzez podanie wartosci na bazie \(\displaystyle{ (e_1, \ldots, e_n)}\):
\(\displaystyle{ <e^*_i, e_j> = \delta_{ij}}\).

Wyznacze na przyklad wektor bazy dualnej \(\displaystyle{ e_3^*}\), gdzie \(\displaystyle{ e_3 = (1,0,-1)}\).
Kazdy funkcjonal liniowy na R^3 jest postaci \(\displaystyle{ (x_1, x_2, x_3) \mapsto a_1x_1 + a_2x_2 + a_3x_3}\).
Musimy rozwiazac uklad rownan
\(\displaystyle{ e_3^* (e_1) = e_3^* (e_2) = 0, e_3^* (e_3) =1.}\)
Teraz trzeba tylko wstawic i policzyc, poradzisz sobie:)

[athena]

mam jeszcze wątpliwości...skąd biorą się współczynniki \(\displaystyle{ a_{1}}\), \(\displaystyle{ a_{2}}\), \(\displaystyle{ a_{3}}\) ?

[liu]

Wlasnie je mamy wyznaczyc?