Dana jest macierz odwzorowania liniowego \(\displaystyle{ f:R ^{2} \rightarrow R ^{3}}\) względem baz \(\displaystyle{ B = ((1,1),(1,0))}\) oraz \(\displaystyle{ C = ((1,1,1),(1,1,0),(1,0,0))}\).
Obliczyć \(\displaystyle{ f(2,1)}\).
\(\displaystyle{ M _{f(B,C)} = \left[\begin{array}{ccc}1&0\\2&1\\0&2\end{array}\right]}\)
Znaleźć macierz tego odwzorowania względem baz kanonicznych w \(\displaystyle{ R ^{2}}\) i \(\displaystyle{ R ^{3}}\).
Prosiłbym o w miarę dokładne rozwiązanie. Miałem to na egzaminie i pewnie będzie podobne na poprawce.
odwzorowanie względem danych baz, znaleźć macierz odwzorowan
-
Yaco_89
- Użytkownik
- Posty: 992
- Rejestracja: 1 kwie 2008, o 00:29
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Tychy/Kraków
- Podziękował: 7 razy
- Pomógł: 204 razy
odwzorowanie względem danych baz, znaleźć macierz odwzorowan
Najpierw znajdujemy współrzędne danego wektora (2,1) w bazie B:
(2,1)=1*(1,1)+1*(1,0)
potem patrzymy na macierz odwzorowania i odczytujemy współrzędne wektora f(2,1) w bazie C
f(2,1)=f(1,1)+f(1,0)= 1*(1,1,1)+2*(1,1,0)+1*(1,1,0)+2*(1,0,0)-=1,1,1)+(3,3,0)+(2,0,0)=(6,4,1)-- 27 marca 2009, 20:37 --Aby znaleźć macierz odwzorowania względem baz kanonicznych musimy znaleźć macierze przejścia, nazwijmy je np.
P1-przejścia z bazy C do kanonicznej w R3
P2-przejścia z bazy kanonicznej w R2 do danej bazy B
P1 znajdujemy bardzo prosto, wypisując w kolejnych kolumnach współrzędne wektorów z B w bazie kanonicznej:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c c c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]}\)
P2 najprościej chyba znaleźć pisząc najpierw macierz przejścia z C do kanonicznej i odwracając:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c c} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]^{-1}=\left[ \begin{array}{c c} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right]}\)
a następnie wystarczy wykonać mnożenie macierzy:
\(\displaystyle{ P _{2}\cdot M\cdot P_{1}=\left[ \begin{array}{c c c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right] \cdot \left[ \begin{array}{c c} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{array}\right] \cdot \left[ \begin{array}{c c} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c c} 3 & 0 \\ 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{array}\right]}\)
nie rozpisuję szczegółowo samych rachunków bo to nie powinno stanowić problemu. jak coś jest niejasne to pytaj
(2,1)=1*(1,1)+1*(1,0)
potem patrzymy na macierz odwzorowania i odczytujemy współrzędne wektora f(2,1) w bazie C
f(2,1)=f(1,1)+f(1,0)= 1*(1,1,1)+2*(1,1,0)+1*(1,1,0)+2*(1,0,0)-=1,1,1)+(3,3,0)+(2,0,0)=(6,4,1)-- 27 marca 2009, 20:37 --Aby znaleźć macierz odwzorowania względem baz kanonicznych musimy znaleźć macierze przejścia, nazwijmy je np.
P1-przejścia z bazy C do kanonicznej w R3
P2-przejścia z bazy kanonicznej w R2 do danej bazy B
P1 znajdujemy bardzo prosto, wypisując w kolejnych kolumnach współrzędne wektorów z B w bazie kanonicznej:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c c c} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right]}\)
P2 najprościej chyba znaleźć pisząc najpierw macierz przejścia z C do kanonicznej i odwracając:
\(\displaystyle{ \left[ \begin{array}{c c} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{array}\right]^{-1}=\left[ \begin{array}{c c} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right]}\)
a następnie wystarczy wykonać mnożenie macierzy:
\(\displaystyle{ P _{2}\cdot M\cdot P_{1}=\left[ \begin{array}{c c c} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0\end{array}\right] \cdot \left[ \begin{array}{c c} 1 & 0 \\ 2 & 1 \\ 0 & 2 \end{array}\right] \cdot \left[ \begin{array}{c c} 0 & 1 \\ 1 & -1 \end{array}\right]=\left[ \begin{array}{c c} 3 & 0 \\ 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{array}\right]}\)
nie rozpisuję szczegółowo samych rachunków bo to nie powinno stanowić problemu. jak coś jest niejasne to pytaj
odwzorowanie względem danych baz, znaleźć macierz odwzorowan
To rozwiązanie jest na pewno dobrze ? Macierze przejścia wydają mi się zle wyznaczone ... Chyba ze zle rozumiem ale czy macierz przejscia z bazy do bazy polega na przedstawieniu wektorow z nowej bazy za pomoca kombinacji liniowej ze starej bazy ? jesli tak to chyba tu jest na odwrot ;/ Moglby ktos sie wypowiedziec bo probuje to ogarnac a nie ma tego nigdzie w sensowny sposob wytlumaczonego