układ rownań

[bati16]

Witam,
potrzebuje pomocy, nie wiem jak rozwiązać ten układ:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} 2x+3y=1\\-x+2y=-3\\3x+y=4\end{array}}\)

robię to tak

\(\displaystyle{ \left| A\right|}\) = \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc} 2&3\\-1&2&\end{array}\right|}\) = 7

\(\displaystyle{ \left| U\right|}\) = \(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}2&3&1\\-1&2&-3\\3&1&4\end{array}\right|}\) = 0

i tu powstają moje pytania, czy ten uklad jest sprzeczny? czy mam "zrobic" (nie wiem jak to sie fachowo określa)
\(\displaystyle{ \left|U\right|}\) o wymiarach 2x2 ?

z tym sie wiąże pytanie czy
\(\displaystyle{ \left|U \right|}\) może być = 0 ?

Byłbym bardzo wdzieczny za rozwiązanie tego układu i wytłumaczenie jak to zrobic

z góry dzieki za pomoc

P.S. robilismy takie rownania tylko za pomocą wzorów Cramera i tw. Capellego wiec prosiłbym o stasowanie tych rzeczy

[agulka1987]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}2&3 \left|1\\-1&2 \left| -3\\3&1 \left 4\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ zamiana \ W_{1} \ z \ W_{2} \begin{bmatrix}-1&2 \left| -3\\2&3 \left|1\\3&1 \left 4\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ W_{2}+2W_{1}, W_{3}+3W_{1} \begin{bmatrix}-1&2 \left| -3\\0&7 \left|-5\\0&7 \left -5\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ W_{3} \ pomijamy \, W_{1} \cdot (-1), W_{2} \cdot \frac{1}{7} \begin{bmatrix}1&-2 \left| 3\\0&1 \left|- \frac{5}{7} \end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ W_{1} + 2W_{2} \begin{bmatrix}1&0 \left| \frac{11}{7} \\0&1 \left|- \frac{5}{7} \end{bmatrix}}\)

Tak więc układ równań jest oznaczony i posiada jedno rozwiazanie

\(\displaystyle{ \begin{cases} x= \frac{11}{7} \\ y=- \frac{5}{7} \end{cases}}\)

[6hokage]

To ja może dodam tylko,że odpowiedź na twoje pytania kryje się w twierdzeniu Kroneckera-Capelli-ego.
Wartość U nie ma znaczenia, ważne żeby rząd macierzy U nie był wiekszy od rzędu ,macierzy
utworzonej ze współczynników przy zmiennych, tylko wtedy układ jest niesprzeczny. A jak nie wiesz co to jest rzad macierzy i nie znasz tw.K-C to się najpierw tego naucz i potem ewentualnie zadawaj pytania.-- 27 mar 2009, o 19:17 --Drobne przejęzyczenie, rząd U nie może być mniejszy od rzędu macierzy ze współczynników.

[bati16]

dzieki Agulka
tylko chodzilo mi wlasnie o inną metode, wyznaczników. Tą którą Ty sie posłuzyłas nie stosowalismy.
wynik \(\displaystyle{ \left|U\right|}\) nie ma znaczenia? wiem ze ważny jest rz(U) ale to ze \(\displaystyle{ \left|U\right|}\) = 0 ? nie jest tak ze gdy jest = 0 to z wyznacznika np. o wymiarach 3x3 robię 2x2 żeby wynik był \(\displaystyle{ \neq}\) 0?

[6hokage]

Tak, ale gdyby 2x2 był dalej równy zero to nadal może być niesprzeczny bo ważne są rzędy, pewnie jak równa się zero to trzeba zmniejszyć wielkość macierzy, ale chodziło mi o to, że w ogólności trzeba patrzeć na to czy zgadzaja się rzędy, a nie na to czy wyznacznik tej największej macierzy jest równy 0.

[Axis]

Zatem uściślę: układ równań liniowych ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy gdy rząd macierzy współczynników (rzA) jest równy rzędowi macierzy uzupełnionej (rzU), przy czym:
# jeżeli rzA=rzU=n, gdzie n to liczba niewiadomych układu (liczba kolumn macierzy A), to układ jest oznaczony
# jeżeli rzA=rzU<n, to układ jest nieoznaczony, a nieskończony zbiór jego rozwiązań zależy od (n-r) parametrów, których wartość zawiera się w zbiorze liczb rzeczywistych.
Oczywistym jest że jeżeli rzA \(\displaystyle{ \neq}\) rzU to układ jest sprzeczny.