Macierz kwadratowa

[Watari]

Macierze A i B komutują oznacza, że AB = BA.
Proszę pokazać, że jeśli kwadratowa macierz A ma komutować ze wszystkimi
kwadratowymi macierzami B tego samego stopnia, to macierz A może być tylko
wielokrotnością macierzy jednostkowej.

WSKAZÓWKA:
W roli macierzy B warto rozważyć macierze \(\displaystyle{ E^{(ij)}}\) składające się z jedynki i poza tym samych zer. Wskaźniki (i,j) pokazują w którym miejscu w danej macierzy \(\displaystyle{ E^{(ij)}}\) znajduje się jedynka. Jest ocdzywiście \(\displaystyle{ n^{2}}\) takich macierzy, gdzie n oznacza stopień wszystkich rozważanych macierzy.

Należy zauważyć, że każdą macierz B o elementach \(\displaystyle{ b_{n}}\) można zapisać jako sumę:
\(\displaystyle{ B=\sum_{i,j=1}^{n} b_{ij}E^{(ij)}}\), z czego wynika, że nasze założenie:
AB=BA dla każdej kwadratowej macierzy nxn macierzy B można przełożyć na założenie:
\(\displaystyle{ AE^{(ij)} = E^{(ij)}A}\) dla każdej macierzy \(\displaystyle{ E^{(ij)}}\). Przepis na element (r,s) macierzy \(\displaystyle{ E^{(ij)}}\) jest taki:
\(\displaystyle{ (E^{(ij)})_{rs}=\delta_{ir}\delta_{js}}\), gdzie \(\displaystyle{ \delta_{ij}}\) jest elementem (i,j) macierzy jednostkowej


Proszę o pomoc, mi ta wskazówka niewiele pomogła, ale może ktoś wie jak to wykorzystać.

[liu]

Sprobuj wziac macierz A i mnozyc ja z lewej i prawej strony przez te macierze \(\displaystyle{ E^{(i,j)}}\) i zobaczyc co bedzie wychodzic.

[xiikzodz]

Można nieco inaczej to zobaczyc i to nawet wprost, co więcej dowód "widać" i działa on w wielu znacznie ogólniejszych sytuacjach.

Skoro macierz \(\displaystyle{ A}\) komutuje ze wszystkimi innymi, to w szczególności ze wszystkimi macierzami rzutowań na podprzestrzenie. Niech \(\displaystyle{ P_x}\) będzie macierzą rzutowania na podprzestrzeń jednowymiarową rozpiętą na wektorze \(\displaystyle{ x}\). Zatem \(\displaystyle{ P_x(x)=x}\). Mamy więc

\(\displaystyle{ M(x)=MP_x(x)=P_xM(x)}\)

zatem \(\displaystyle{ M(x)}\) należy do przestrzeni rozpiętej przez \(\displaystyle{ x}\), czyli \(\displaystyle{ M(x)=r_x x}\) dla pewnej stałej \(\displaystyle{ r_x}\) zależnej od przestrzeni rozpiętej przez wektor \(\displaystyle{ x}\). Zauważmy, że wszystkie \(\displaystyle{ r_x}\) są równe, bo dla dowolnych liniowo niezależnych \(\displaystyle{ x,y}\) mamy:

\(\displaystyle{ M(x+y)=r_{x+y}(x+y)}\)

oraz

\(\displaystyle{ M(x+y)=M(x)+M(y)=r_xx+r_yy}\),

co wobez jednoznaczności zapisu oznacza, ze

\(\displaystyle{ r_x=r_{x+y}=r_x}\).

Zatem \(\displaystyle{ M(x)=rx}\) czyli \(\displaystyle{ M}\) jest macierzą jednokładności.

[Watari]

Nie da się tego jakoś inaczej rozwiązać , najlepiej za pomocą tamtych wskazówek? Bo niezbyt wiem, co oznacza "macierz rzutowania na podprzestrzeń":P

[xiikzodz]

Rzutowanie na podprzestrzeń \(\displaystyle{ X}\) to takie przekształcenie \(\displaystyle{ P}\), którego obrazem jest \(\displaystyle{ X}\), że \(\displaystyle{ P\circ P =P}\). Istnienie rzutowań na dowolne podprzestrzenie jest trywialne, wynika stąd, że każdy układ wektorów niezależnych można uzupełnić do bazy.

Można oczywiście z użyciem wskazówki, ale znacznie mniej elegancko... Dam może jeszcze jedną wskazówkę. Jeśli \(\displaystyle{ A}\) ma coś na pozycji \(\displaystyle{ ij}\), to pomoże wymnożenie przez \(\displaystyle{ E^{ii}}\) oraz \(\displaystyle{ E^{jj}}\) z obu stron. Jeśli A ma na przekątnej dwa różne elementy, powiedzmy na miejscu \(\displaystyle{ ii}\) i miejscu \(\displaystyle{ jj}\), to pomoże pomnożenie przez \(\displaystyle{ E^{ij}}\) z odpowiednich stron.

[Watari]

Niestety niewiele mi to pomogło, zupełnie nie wiem jak się zabrać do tego zadania.

[liu]

A probowales to przemnozyc i zobaczyc co wyjdzie?