obliczyć wyznacznik macierzy

[edka242]

jak wyliczyć wyznacznik takiej macierzy?

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&9&8&1\\2&4&0&3\\1&2&3&4\\5&6&7&8\end{bmatrix}}\)

[agulka1987]

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&9&8&1\\2&4&0&3\\1&2&3&4\\5&6&7&8\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ W_{2}-2W_{1}, W_{3}-W_{1}, W_{4}-5W_{1} = \begin{bmatrix}1&9&8&1\\0&-14&-16&1\\0&-7&-5&3\\0&-35&-33&3\end{bmatrix} = (-1)^{1+1} \cdot det\begin{bmatrix}&-14&-16&1\\&-7&-5&3\\&-35&-33&3\end{bmatrix}=210+1680+273-175-1638-336 = 14}\)

[edka242]

a dlaczego jak liczę specjalnym programem to wychodzi mi wynik 396?

[Frey]

\(\displaystyle{ 6 -5 \cdot 9= -39}\)

czwarty wiersz, druga kolumna

[xiikzodz]

Nieco prościej jest od ostatniego wiersza odjąć przedostatni:

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&9&8&1\\2&4&0&3\\1&2&3&4\\4&4&4&4\end{pmatrix}}\)

Następnie odjąć pierwszą kolumnę od pozostałych:

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&8&7&0\\2&2&-2&1\\1&1&2&3\\4&0&0&0\end{pmatrix}}\)

W końcu od trzeciego wiersza można jeszcze odjąć 3 razy drugi wiersz:

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&8&7&0\\2&2&-2&1\\-5&-5&8&0\\4&0&0&0\end{pmatrix}}\)

I można liczyć wyznacznik:

\(\displaystyle{ \det\begin{pmatrix}1&8&7&0\\2&2&-2&1\\-5&-5&8&0\\4&0&0&0\end{pmatrix}=
(-4)\cdot\det\begin{pmatrix}8&7&0\\2&-2&1\\-5&8&0\end{pmatrix}=}\)

\(\displaystyle{ =(-4)\cdot(-1)\det\begin{pmatrix}8&7\\-5&8\end{pmatrix}=4\cdot(64+35)=4\cdot 99=396}\)

[Axis]

Mi też wyszło 396, ale najpierw od wiersza pierwszego odjąłem wiersz czwarty.

[Frey]

396 to dobry wynik

agulka1987 niestety się w rachunkach pomyliła

[Mariusz M]

jak wyliczyć wyznacznik takiej macierzy?

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&9&8&1\\2&4&0&3\\1&2&3&4\\5&6&7&8\end{bmatrix}}\)

1. Metoda eliminacji Gaussa

\(\displaystyle{ \det\begin{bmatrix}1&9&8&1\\2&4&0&3\\1&2&3&4\\5&6&7&8\end{bmatrix}=}\)

\(\displaystyle{ W_{4}-W_{3}}\)

\(\displaystyle{ \det\begin{bmatrix}1&9&8&1\\2&4&0&3\\1&2&3&4\\4&4&4&4\end{bmatrix}=}\)

\(\displaystyle{ 4\det\begin{bmatrix}1&9&8&1\\2&4&0&3\\1&2&3&4\\1&1&1&1\end{bmatrix}=}\)

\(\displaystyle{ W_{2}-2W_{1}}\)

\(\displaystyle{ 4\det\begin{bmatrix}1&9&8&1\\0&-14&-16&1\\1&2&3&4\\1&1&1&1\end{bmatrix}=}\)

\(\displaystyle{ W_{3}-W_{1}}\)

\(\displaystyle{ 4\det\begin{bmatrix}1&9&8&1\\0&-14&-16&1\\0&-7&-5&3\\1&1&1&1\end{bmatrix}=}\)

\(\displaystyle{ W_{4}-W_{1}}\)

\(\displaystyle{ 4\det\begin{bmatrix}1&9&8&1\\0&-14&-16&1\\0&-7&-5&3\\0&-8&-7&0\end{bmatrix}=}\)

\(\displaystyle{ 2\det\begin{bmatrix}1&9&8&1\\0&-14&-16&1\\0&-14&-10&6\\0&-8&-7&0\end{bmatrix}=}\)

\(\displaystyle{ W_{3}-W_{2}}\)

\(\displaystyle{ 2\det\begin{bmatrix}1&9&8&1\\0&-14&-16&1\\0&0&6&5\\0&-8&-7&0\end{bmatrix}=}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{7} \det\begin{bmatrix}1&9&8&1\\0&-14&-16&1\\0&0&6&5\\0&-56&-49&0\end{bmatrix}=}\)

\(\displaystyle{ W_{4}-4W_{2}}\)

\(\displaystyle{ \frac{2}{7} \det\begin{bmatrix}1&9&8&1\\0&-14&-16&1\\0&0&6&5\\0&0&15&-4\end{bmatrix}=}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{7} \det\begin{bmatrix}1&9&8&1\\0&-14&-16&1\\0&0&6&5\\0&0&30&-8\end{bmatrix}=}\)

\(\displaystyle{ W_{4}-5W_{3}}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{7} \det\begin{bmatrix}1&9&8&1\\0&-14&-16&1\\0&0&6&5\\0&0&0&-33\end{bmatrix}=}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{7}*1* \left( -14\right)*6* \left( -33\right)=2*6*33=12*33=396}\)


2.Metoda rozkładu LU

W tej metodzie należy dokonać rozkładu macierzy na iloczyn macierzy dolnotrójkątnej i
górnotrójkątnej
Następnie należy skorzystać z twierdzenia Cauchy'ego
Czasami dla ustalenia znaku wyznacznika pomocne jest obliczenie macierzy permutacji
lecz w tym przykładzie nie jest to konieczne
Najprostszym sposobem na obliczenie macierzy rozkładu jest
ułożenie układu równań na podstawie wzoru na mnożenie macierzy

Obliczmy macierz rozkładu LU

Pierwszy wiersz macierzy U

\(\displaystyle{ 1=a_{11}}\)

\(\displaystyle{ 9=a_{12}}\)

\(\displaystyle{ 8=a_{13}}\)

\(\displaystyle{ 1=a_{14}}\)

Pierwsza kolumna macierzy L

\(\displaystyle{ 2=a_{21}}\)

\(\displaystyle{ 1=a_{31}}\)

\(\displaystyle{ 5=a_{41}}\)

Drugi wiersz macierzy U

\(\displaystyle{ 4=2*9+a_{22}}\) ; \(\displaystyle{ a_{22}=4-18=-14}\)

\(\displaystyle{ 0=2*8+a_{23}}\) ; \(\displaystyle{ a_{23}=0-16=-16}\)

\(\displaystyle{ 3=2*1+a_{24}}\) ; \(\displaystyle{ a_{24}=3-2=1}\)

Druga kolumna macierzy L

\(\displaystyle{ 2=1*9-14a_{32}}\) ; \(\displaystyle{ -14a_{32}=-7}\) ; \(\displaystyle{ a_{32}= \frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ 6=5*9-14a_{42}}\) ; \(\displaystyle{ -39=-14a_{42}}\) ; \(\displaystyle{ a_{42}= \frac{39}{14}}\)

Trzeci wiersz macierzy U

\(\displaystyle{ 3=1*8+ \frac{1}{2}* \left( -16\right)+a_{33}}\) ; \(\displaystyle{ 3=a_{33}}\)

\(\displaystyle{ 4=1*1+ \frac{1}{2}*1+a_{34}}\) ; \(\displaystyle{ \frac{5}{2} =a_{33}}\)

Trzecia kolumna macierzy L

\(\displaystyle{ 7=5*8+ \frac{39}{14}* \left( -16\right)+3a_{43}}\) ; \(\displaystyle{ -33+ \frac{39*8}{7} =3a_{43}}\)

\(\displaystyle{ \frac{-77+104}{7} =a_{43}}\) ; \(\displaystyle{ \frac{27}{7}=a_{43}}\)

Czwarty wiersz macierzy U

\(\displaystyle{ 8=5*1+ \frac{39}{14}+ \frac{27*5}{7*2} +a_{44}}\)

\(\displaystyle{ 3= \frac{39}{14}+ \frac{27*5}{7*2} +a_{44}}\)

\(\displaystyle{ \frac{42-39}{14}- \frac{27*5}{7*2} =a_{44}}\)

\(\displaystyle{ \frac{42-39-135}{14} =a_{44}}\) ; \(\displaystyle{ a_{44}= \frac{3-135}{14}= \frac{-132}{14}= -\frac{66}{7}}\)

Macierz rozklładu LU ma postać

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&9&8&1\\2&-14&-16&1\\1& \frac{1}{2} &3& \frac{5}{2} \\5& \frac{39}{14} & \frac{27}{7} &-\frac{66}{7} \end{bmatrix}}\)

Wyznacznik to iloczyn elementów na głównej przekątnej

\(\displaystyle{ 1* \left( -14\right)*3* \left(- \frac{66}{7} \right)=1*2*3*66=6*66=396}\)