jak podejsc do tych zadan
1.Proszę podnieść do k-tej potęgi macierz kwadratową o rozmiarach nxn, złożoną z jedynek.
2.Macierze A i B komutują" oznacza, że AB = BA.
Proszę pokazać, że jeżeli kwadratowa macierz A ma komutować ze wszystkimi
kwadratowymi macierzami B tego samego stopnia, to macierz A może być tylko
wielokrotnością macierzy jednostkowej.
potegowanie macierzy itd
-
miki999
- Użytkownik
- Posty: 8691
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
potegowanie macierzy itd
1.
Z zasady mnożenia widać, że macierz złożona z jedynek o wymiarze nxn podniesiona do potęgi 2 będzie postaci:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}n&...&n\\.&.&.\\.&.&.\\.&.&.\\n&...&n\end{array}\right]}\)
Jak przemnożymy to jeszcze raz przez naszą macierz, to otrzymamy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}n^{2}&...&n^{2}\\.&.&.\\.&.&.\\.&.&.\\n^{2}&...&n^{2}\end{array}\right]}\)
Nie trudno się domyślić, że po podniesieniu do k-tej potęgi macierz przybierze formę:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}n^{k-1}&...&n^{k-1}\\.&.&.\\.&.&.\\.&.&.\\n^{k-1}&...&n^{k-1}\end{array}\right]}\)
Wymiarów otrzymanej macierzy nie pisałem, bo są oczywiste.
Pozdrawiam.
Z zasady mnożenia widać, że macierz złożona z jedynek o wymiarze nxn podniesiona do potęgi 2 będzie postaci:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}n&...&n\\.&.&.\\.&.&.\\.&.&.\\n&...&n\end{array}\right]}\)
Jak przemnożymy to jeszcze raz przez naszą macierz, to otrzymamy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}n^{2}&...&n^{2}\\.&.&.\\.&.&.\\.&.&.\\n^{2}&...&n^{2}\end{array}\right]}\)
Nie trudno się domyślić, że po podniesieniu do k-tej potęgi macierz przybierze formę:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}n^{k-1}&...&n^{k-1}\\.&.&.\\.&.&.\\.&.&.\\n^{k-1}&...&n^{k-1}\end{array}\right]}\)
Wymiarów otrzymanej macierzy nie pisałem, bo są oczywiste.
Pozdrawiam.