Układ równań i potęgowanie liczb zespolonych

prezesprezes · Post autor: **prezesprezes** » 31 sty 2006, o 19:53

mam takie przykładowe zadania proszę o rozwiązanie abym miał odniesienie do innych zadań tego typu
1.

\(\displaystyle{ \{x+2y+3z-t=-1\\3x+6y+7z+t=5\\2x+4y+7z-4t=-6\\}\)

2.
\(\displaystyle{ \left(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2}i\right)^{60} (1-i)^{45}}\).
Do tego drugiego mam małe pytanie związku z rozwiązaniem:
wiem jak się potęguje liczby zespolone ale mam jedno pytanie czy najpierw należy obliczyć potęge pierwszej liczby potem drugiej liczby a potem pomnożyć.

[ Dodano: Czw Lut 02, 2006 2:30 am ]
czyżby nik nie umiał mi pomóc

Edit by Tomek R.: Poprawiłem oznaczenia. Dostosuj się do obowiązujących tu zasad.

PawelJan · Post autor: **PawelJan** » 2 lut 2006, o 09:38

W pierwszym rząd macierzy układu jest 3, więc jedną zmienną nienależącą do zerowego mniora przyjmujesz jako parametr, przenosisz go na prawą stronę i rozwiązujesz układ 3x3 traktując parametr i liczbę po prawej jako stałe /dane/.

W drugim zamieniasz poszczególne liczby na postać trygonometryczną i podnosisz do potęgi.

To, że nikt nic nie napisał nie oznacza że nikt nie umiał.

Tomasz Rużycki · Post autor: **Tomasz Rużycki** » 2 lut 2006, o 09:41

Na wszelki wypadek... W 2) po zamienieniu na postać trygonometryczną skorzystaj ze wzoru de'Moivre'a

Emiel Regis · Post autor: **Emiel Regis** » 2 lut 2006, o 09:57

prezesprezes pisze: ( √ 3 /2 + 1/2i) do potęgi 60 * (lub dzielenie) (1-i) do potęgi 45

czyżby nik nie umiał mi pomóc

Myślę że nikt nie pomógł bo nie widzial dobrej woli z Twojej strony, nawet nie chciało Ci sie tego w texie napisać.

prezesprezes · Post autor: **prezesprezes** » 2 lut 2006, o 20:59

Wyrażam pełną skruchę i postaram się dostosować

Mam proźbę: czy módłby ktoś rozwiązać te zadańia tak łopatologicznie?. Niedługo mam egzamin z algebry i chciałbym go zaliczyć.

PawelJan · Post autor: **PawelJan** » 2 lut 2006, o 21:24

Oj, przepraszam za pomyłkę, macierz tego układu nie posiada niezerowego minora 3. stopnia (nie ma podmacierzy 3x3 o wyznaczniku różnym od zera). Tak samo w macierzy uzupełnionej - z dołączoną kolumną wyrazów wolnych.

Bierzemy dowolny minor 2. stopnia, np. stojący w 2. i 3. kolumnie w pierwszych dwóch wierszach, zostawiamy tylko równania zawierające ten minor, czyli równanie 1. i 2., zmienne niewystępujące w tym minorze (x oraz t) przerzucamy na prawą stronę i traktujemy jak stałe. Mamy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi, zależny od dwóch parametrów.

prezesprezes · Post autor: **prezesprezes** » 2 lut 2006, o 21:28

a czy mógłbyś rozwiązać to zadanie. Bardzo cię proszę.

PawelJan · Post autor: **PawelJan** » 2 lut 2006, o 21:34

Stary, sorry, ale czy Ty czytasz co ja piszę?

prezesprezes · Post autor: **prezesprezes** » 2 lut 2006, o 21:42

czytam ale chcę mieć pewność że wszystko robię jak należy.

PawelJan · Post autor: **PawelJan** » 2 lut 2006, o 21:43

Tak jak napisałem, zostawiamy dwa pierwsze równania:
\(\displaystyle{ \{x+2y+3z-t=-1\\3x+6y+7z+t=5}\)

Przerzucamy zmienne x oraz t na prawą stronę
\(\displaystyle{ \{2y+3z=-1-x+t\\6y+7z=5-3x-t}\)

Którego rozwiązaniem są z=-4+2t, y=5,5-0,5x-2,5t, x oraz t dowolne parametry.

prezesprezes · Post autor: **prezesprezes** » 2 lut 2006, o 21:48

wielkie dzięki stary
Mam jeszcze ostatnie dwie prożby

1.jak poznałeś że jest to minor 2 stopna. Bo jakoś nie moę zkapować
2.Możesz krok po kroku napisac jak rozwiązywałeś to równanie bo coś mi nie wychodzi

Krystyna · Post autor: **Krystyna** » 4 lut 2006, o 01:10

1. Bierze się największy możliwy niezerowy minor, a ta macierz nie ma niezerowych minorów 3 stopnia, a drugiego i owszem posiada. Zresztą PawelJan już o tym napisał.

2. Tak więc mamy do rozwiązania układ 2 równań z 2 niewiadomymi zależny od 2 parametrów, postaci:
\(\displaystyle{ \left{\begin{2y+3z=-1-x+t\\6y+7z=5-3x-t}\)

i jedziemy..

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rrrrrr}2&3&^|_|&-1&-1&1\\6&7&^|_|&5&-3&-1\end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ w_2+w_1*(-3)}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rrrrrr}2&3&^|_|&-1&-1&1\\0&-2&^|_|&8&0&-4\end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ w_1*\frac{1}{2}\\w_2*-\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rrrrrr}1&\frac{3}{2}&^|_|&-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\0&1&^|_|&-4&0&2\end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ w_1+w_2*(-\frac{3}{2})}\)

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{rrrrrr}1&0&^|_|&5\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}&-2\frac{1}{2}\\0&1&^|_|&-4&0&2\end{array}\right]}\)

czyli

\(\displaystyle{ \left{\begin{y=5\frac{1}{2}-\frac{1}{2}x-2\frac{1}{2}t\\z=-4-2t}\)

---

O to chodziło? Czy jeszcze raz ktoś ma to samo napisać?

PawelJan · Post autor: **PawelJan** » 4 lut 2006, o 10:12

Zapewne tak, rozwiązując układ niemacierzowo...

prezesprezes · Post autor: **prezesprezes** » 4 lut 2006, o 22:33

dzięki wszystkim
Egzamin zaliczony