Metoda Gaussa...

[abelo]

Jak rozwiazac uklad rownan metoda eliminacji Gaussa:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-2y+z=1\\-4x+8y-4z=-4\\2x+3y-z=3 \end{array}}\)
Probowalem inny sposobem ale wszstkie wyznaczniki sa rowne o. Wzory Cramera.
A na cwiczeniach powiedzieli zeby rozwiazac metoda eliminacji Gaussa.

[Brzytwa]

Jak wyznaczniki wszystkie są równe 0, to oznacza, że układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań. I faktycznie - 1 i 2 równania są równoważne. Wystarczy pomnożyć pierwsze przez -4 i dostajemy drugie.

[abelo]

Ok. Ale jak wykazac metoda eliminacji Gaussa ze ten układ ma nieskonczenie wiele rozwiazan?

[Rogal]

Samo wyjdzie, po prostu ją zastosuj.

[Mariusz M]

Ok. Ale jak wykazac metoda eliminacji Gaussa ze ten układ ma nieskonczenie wiele rozwiazan?

Za pomocą metody eliminacji Gaussa liczysz rzędy a następnie korzystasz w twierdzenia Kroneckera-Capellego

[Rogal]

Pierdzielisz.
Za pomocą eliminacji Gaussa wyznacza się kolejno zmienne w zależności od innych, aż dojdzie się do ostatniej. W tym przypadku po prostu okaże się, że jednej zmiennej nie uda się wyznaczyć i od niej będą zależne wszystkie inne, więc istotnie będzie nieskończenie wiele rozwiązań.

[Mariusz M]

Pierdzielisz.
Za pomocą eliminacji Gaussa wyznacza się kolejno zmienne w zależności od innych, aż dojdzie się do ostatniej. W tym przypadku po prostu okaże się, że jednej zmiennej nie uda się wyznaczyć i od niej będą zależne wszystkie inne, więc istotnie będzie nieskończenie wiele rozwiązań.

Można za pomocą metody elimiacji Gaussa policzyć rzędy macierzy głównej i dołączonej
Jeżeli rzędy są równe to rozwiązanie istnieje
Jeżeli rzędy są różne od liczby niewiadomych to wtedy jest nieskończenie wiele rozwiązań
które można sparametryzować

[Rogal]

A możesz to zrobić?

[xiikzodz]

Rogal, jest to bardzo proste - wymaga elementarnej wiedzy nt. równań. Wyręczę użytkownika w tym niewdzięcznym zadaniu wypisywania tych trywialności...

Chodzi o rzędy dwóch macierzy:

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&-2&1\\-4&8&-4\\2&3&-1\end{pmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&-2&1&|&1\\-4&8&-4&|&-4\\2&3&-1&|&3\end{pmatrix}}\)

Te kreski po to, żeby było sugestywniej na temat obiektu, który zwykło się nazywać macierzą dołączoną układu niejednorodnego.

Metoda polega na tym, że bada się rzędy obu macierzy, do czego wygodnie jest zastosować metodę eliminacji dla macierzy dołączonej (przy okazji automatycznie dla głównej).

W tym przypadku metoda daje wynik natychmiast. Po dodaniu pierwszego wiersza raz pomnożonego przez 4, a raz przez -2 oraz po zamianie miejscami wierszy 2 i 3 otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&-2&1&|&1\\0&7&-3&|&1\\0&0&0&|&0\end{pmatrix}}\)

Skąd widać, że rzędy macierzy głównej i dołączonej są równe 2. Jak to mariuszm uczynnie napisał z równości rzędów wynika istnienie rozwiązań, zaś z faktu, że te rzędy są mniejsze od 3 wynika, że jest ich nieskończenie wiele i że wystarczy uznać jedną ze zmiennych za parametr, co wygląda tak:

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}1&-2&|&1-z\\0&7&|&1+3z\end{pmatrix}}\)

i wówczas pozostaje wypisać rozwiązanie układu 2x2 w postaci górnotrójkątnej:


\(\displaystyle{ y=\frac{1+3z}{7}}\)

\(\displaystyle{ x=1-z+2y=1-z+2\cdot \frac{1+3z}{7}=\frac {9-z}{7}}\)

Rogal, jeśli miałeś mało do czynienia z algebrą liniową, to może ci się wydawać, że to zawiłe, ale w rzeczywistości jest to niemal optymalny z punktu widzenia złożoności obliczeniowej sposób. W szczególności oznacza to tyle, że jak od razu nie widać, to warto spróbować tak, jak zasugerował mariuszm. Zwłaszcza wtedy, gdy w treści zadania stoją słowa "Metoda Gaussa"

[Rogal]

Wszystko pięknie, tyle to ja się orientuję w algebrze liniowej.
Tylko, że jednak w metodzie eliminacji Gaussa nie chodzi o liczenie rzędów. Nie sądzę również, by w ogóle za czasów Gaussa pojęcie rzędu istniało.
Mam nadzieję jednak, że wszyscy wiemy, co dokładnie mówi algorytm nazywany "metodą eliminacji Gaussa".

[xiikzodz]

W metodach na ogół o nic nie chodzi. Metody się stosuje. Gauss stosował "metodę eliminacji Gaussa" zagadnień astronomicznych (przy okazji metody najmniejszych kwadratów). Co nie oznacza, że nie można tej metody zastosować do liczenia rzędów. Pojęcie "rzędu" było znane 2000 lat przed Gaussem. Oczywiście nie w formie rzędu macierzy, tylko właśnie w formie liczby swobodnych parametrów układu równań, których liczbę Chińczycy potrafili ustalić bez rozwiązywania równania, lecz właśnie z użyciem eliminacji.

Wyznaczanie rzędów macierzy to aktualnie jedno z podstawowych zastosowań metody eliminacji Gaussa.

[Rogal]

Dobra dobra, nie kłóćmy się jałowo, grunt, że wiadomo o co chodzi obu stronom