Baza przestrzeni wektorowej

prezesprezes · Post autor: **prezesprezes** » 31 sty 2006, o 00:23

Mam takie zadanie i niewiem jak je rozwiązać proszę o pomoc:
Dla jakiego k układ wektorów tworzy bazę.
Przyjąść że k=1 obliczyć współrzędne wektora (0,5,-5) w tej bazie

{[2,0,-1],[0,1,k][k,-2,0]} w R3

PawelJan · Post autor: **PawelJan** » 31 sty 2006, o 09:20

Układ wektorów tworzy bazę, jeśli są one liniowo niezależne oraz generujące.

PawelJan 2 tematy wcześniej pisze:Układ wektorów jest liniowo niezależny, jeżeli z równości
\(\displaystyle{ \Large \bigsum_{i=1}^{n}C_{i} \vec{X_{i}}=0 \; \; \forall i (1,2,...,n) : \; C_{i}=0}\).

Inaczej mówiąc, takie równanie macierzowe [układ równań] którego macierz składa się z kolumn będących sprawdzanymi wektorami, ma JEDYNIE zerowe rozwiązanie.

Z tw. Kroneckera-Capellego wynika, że sprowadza się to do sprawdzenia, czy wyznacznik tej macierzy jest różny od zera - wtedy układ wektorów jest liniowo niezależny.

Układ jest generujący, jeżeli każdy wektor z jego przestrzeni można przedstawić jako kombinację liniową wektorów bazy.

Twoim zadaniem jest więc wyznaczenie a, dla którego wyznacznik macierzy utworzonej z tych wektorów /jako kolumn/ jest niezerowy oraz znalezienie tych współczynników kombinacji liniowej.

prezesprezes · Post autor: **prezesprezes** » 31 sty 2006, o 11:18

babka od maty tłumaczyła że trzeba to zrobić jakoś tak:
|2 0 k|
|0 1 -2| ma być różne od 0
|-1 k 0|

Ale jak to rozwiązać ?

PawelJan · Post autor: **PawelJan** » 31 sty 2006, o 11:25

Wg reguły Sarrusa:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}2&0&k\\0&1&-2\\-1&k&0\end{array}\right|=2*1*0\:+\:0*(-2)*(-1)\:+\:0*k*k\:-\:k*1*(-1)\:-\:0*0*0\:-\:2*(-2)*k=5k}\)

co jest różne od zera dla wszystkich k≠0.

prezesprezes · Post autor: **prezesprezes** » 31 sty 2006, o 13:17

a możesz rozwiązać całe to zadanie?

PawelJan · Post autor: **PawelJan** » 31 sty 2006, o 19:56

Należy znaleźć współczynniki kombinacji liniowej o której mowa wyżej.

Dowolny wektor [x,y,z] ma się dać przedstawić jako komb. lin. tych 3 wektorów, więc

[x,y,z] = a[2,0,-1] + b[0,1,k] + c[k,-2,0]

Naszym zadaniem jest wyznaczenie tych a,b,c oraz podanie k dla którego zawsze je znajdziemy. Równość powyższa równoważna jest 3 równościom dla poszczególnych składowych:

x=2a+kc
y=b-2c
z=-a+kb

Rozwiązujemy je i dostajemy a=(2x+ky-z)/5; b=(4z+2x+ky)/5k; c=(4z+2x-4ky)/10k czyli widzimy że znajdziemy je zawsze o ile tylko k≠0.

Odpowiedzią, na pytanie dla jakich k te wektory będą tworzyły bazę to k należące do R{0}.

Ostatnia część zadania: podstaw do wzorków powyżej k oraz x, y i z z wektora który masz, otrzymasz współrzędne w tej nowej bazie.

prezesprezes · Post autor: **prezesprezes** » 31 sty 2006, o 20:10

okia wielkie dzięki