Znajdź kąt między wektorami \(\displaystyle{ \vec{a}}\) i \(\displaystyle{ \vec{b}}\) wiedząc, że:
\(\displaystyle{ 3\vec{a}-5\vec{b} \perp 2\vec{a}+\vec{b}}\) i \(\displaystyle{ \vec{a}+4\vec{b} \perp \vec{b}-\vec{a}}\)
Wiem, że należy skorzystać z iloczynu skalarnego. Ale co dalej? Wektory są w przestrzeni.
Kąt między wektorami.
-
Potekk
- Użytkownik
- Posty: 110
- Rejestracja: 2 gru 2007, o 12:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Piastów
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 35 razy
Kąt między wektorami.
niech \(\displaystyle{ \alpha}\) - szukany kąt
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3 \vec{a}-5 \vec{b} \perp 2 \vec{a}+ \vec{b} \\ \vec{a}+4 \vec{b} \perp \vec{b}- \vec{a} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (3 \vec{a}-5 \vec{b}) \circ (2 \vec{a}+ \vec{b})=0 \\ (\vec{a}+4 \vec{b}) \circ (\vec{b}- \vec{a})=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6 |\vec{a}|^2-5 |\vec{b}|^2 -7 \vec{a}\circ \vec{b}=0 \\ - |\vec{a}|^2 + 4 |\vec{b}|^2 -3 \vec{a}\circ \vec{b}=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 18 |\vec{a}|^2-15 |\vec{b}|^2 -21 \vec{a}\circ \vec{b}=0 \\ 7 |\vec{a}|^2 -28 |\vec{b}|^2 +21 \vec{a}\circ \vec{b}=0 \end{cases} \Rightarrow \frac{25}{43} |\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 \Leftrightarrow (|\vec{a}| > 0 \wedge |\vec{b}| > 0 \wedge \frac{5 \sqrt{43} }{43} |\vec{a}| = |\vec{b}|)}\)
podstawiam do drugiego równania i korzystam z definicji iloczynu skalarnego wektorów
\(\displaystyle{ -|\vec{a}| ^2 + 4 \cdot \frac{25}{43} |\vec{a}| ^2- 3 \frac{5 \sqrt{43} }{43} |\vec{a}|^2 \cdot \cos \alpha =0 \Leftrightarrow cos \alpha = \frac{19 \sqrt{43} }{215} \approx 0,57949}\)
albo podaj że kąt ostry dla którego cos tyle wynosi, albo odczytaj z tablic
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3 \vec{a}-5 \vec{b} \perp 2 \vec{a}+ \vec{b} \\ \vec{a}+4 \vec{b} \perp \vec{b}- \vec{a} \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} (3 \vec{a}-5 \vec{b}) \circ (2 \vec{a}+ \vec{b})=0 \\ (\vec{a}+4 \vec{b}) \circ (\vec{b}- \vec{a})=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 6 |\vec{a}|^2-5 |\vec{b}|^2 -7 \vec{a}\circ \vec{b}=0 \\ - |\vec{a}|^2 + 4 |\vec{b}|^2 -3 \vec{a}\circ \vec{b}=0 \end{cases} \Leftrightarrow \begin{cases} 18 |\vec{a}|^2-15 |\vec{b}|^2 -21 \vec{a}\circ \vec{b}=0 \\ 7 |\vec{a}|^2 -28 |\vec{b}|^2 +21 \vec{a}\circ \vec{b}=0 \end{cases} \Rightarrow \frac{25}{43} |\vec{a}|^2 = |\vec{b}|^2 \Leftrightarrow (|\vec{a}| > 0 \wedge |\vec{b}| > 0 \wedge \frac{5 \sqrt{43} }{43} |\vec{a}| = |\vec{b}|)}\)
podstawiam do drugiego równania i korzystam z definicji iloczynu skalarnego wektorów
\(\displaystyle{ -|\vec{a}| ^2 + 4 \cdot \frac{25}{43} |\vec{a}| ^2- 3 \frac{5 \sqrt{43} }{43} |\vec{a}|^2 \cdot \cos \alpha =0 \Leftrightarrow cos \alpha = \frac{19 \sqrt{43} }{215} \approx 0,57949}\)
albo podaj że kąt ostry dla którego cos tyle wynosi, albo odczytaj z tablic