Wyznacznik macierzy, jak go obliczyc?

MidnightDreamer · Post autor: **MidnightDreamer** » 28 sty 2006, o 15:53

Witam wszystkich ponownie:)
Tym razem mam zadanie ktorego znowu nie rozumiem, tzn. rozumiem ale nie do konca.
oto link do rozwiązanego juz zadania:

Musze obliczyc wyznacznik tej oto maciezy, to zielone chyba rozumiem bo trzeba doprowadzic do jak najwiekszej liczby zer tylko nie wiem czy zawsze musza byc conajmniej 3 zera czy na czym to polega...
Najgorsze jest to zółte bo nie wiem skąd sie biorą te liczby
A to niebieskie to pewnie to co powstaje z tych liczb ale nie wiem w jaki sposob
To co juz jest po znaku równosci rozumiem
Jesli ktos by umial to wytlumaczyc to bardzo prosze o pomoc

PawelJan · Post autor: **PawelJan** » 28 sty 2006, o 16:22

Przyjacielu, najpierw siądź do książki i poczytaj troszkę teorii.

Sprowadzasz tyle zer, ile Ci pasuje, im więcej tym lepiej, bo operacja znalezienia wyznacznika rozwinięciem Laplace'a [bo o to właśnie tu chodzi] polega na tym, że bierzesz 1 wiersz [lub kolumnę] względem którego rozwijasz wyznacznik, dla każdego elementu Aij danego wiersza tworzysz tzw. minor - wyznacznik z macierzy powstałej przez skreślenie i-tego wiersza i j-tej kolumny, mnożysz go przez sam element Aij oraz przez (-1)^(i+j). To jest to żółte.

Wyznacznik jest równy sumie takich dziwaków policzonych dla wszystkich elementów danego, wybranego przez Ciebie wiersza, czyli im więcej masz zer tym mniej do sumowania, jak masz tylko jeden niezerowy element jest najlepiej.

To (-10)^(i+j)*minor nazywa się dopełnieniem algebraicznym elementu Aij.

To niebieskie to ten minor [jako macierz], z podpisanymi jego własnymi wierszami - ułatwia to policzenie jego wzynacznika [wiem, że nie bardzo po polskiemu].

MidnightDreamer · Post autor: **MidnightDreamer** » 28 sty 2006, o 17:39

tak, wiem ze powinienem w kasiazce przeczytac teorie, ale niestety mam jakas dziwna ksiaze i tam jest tylko ten przyklad (i jeszcze inny - dluzszy) i krotki opis, ktory jest dla mnie nieczytelny zabardzo (nie wyjasnia mi wszystkiego)
PawelJan niestety nie za bardzo rozumiem tego wyjasnienia
w zółtym (-1) ma byc chyba zawsze. 2+1 dlatego bo skreslamy 2 wiersz i 1 kolumne (ktore nie wiem na jakiej postawie trzeba skreslic) i dlaczego jest tam liczba akurat x1
i w sumie to czemu wypisujemy te 2+1 jak i tak w koncu trzeba obliczyc tylko (-1) razy przekątne macieży?
mysle ze najlepiej bym zrozumial na liczbach, zamiast literek.

PawelJan · Post autor: **PawelJan** » 28 sty 2006, o 17:50

Rozwiniemy wyznacznik względem pierwszego wiersza:

\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{array}\right|=1 (-1)^{1+1} ft|\begin{array}{cc}5&6\\8&9\end{array}\right| \; + \; 2 (-1)^{1+2} ft|\begin{array}{cc}2&6\\7&9\end{array}\right| \; + \; 3 (-1)^{1+3} ft|\begin{array}{cc}2&5\\7&8\end{array}\right|}\)

Widzisz, że mnożymy dany element przez jego dopełnienie algebraiczne [=wyznacznik macierzy powstałej ze skreślenia kolumny i wiersza, w których znajduje się rozpatrywany element przemnożony przez -1 podniesione do potęgi równej sumie nrów wiersza i kolumny tego elementu].

Jeśli wiersz miałby dużo zer, dużo tych składników po prostu wyzerowałoby się.

Ten wykładnik minus jedynki to nie jakaś przekątna tylko suma numeru wiersza i numeru kolumny, w jakich znajduje się rozpatrywany element. Np. dwójka stoi w 1. wierszu i 2. kolumnie, czyli 2 jest przemnożone przez -1 do (1+2), a jak skreślisz ten 1. wiersz i 2. kolumnę to otrzymasz macierz taką, jaka jest już umieszczona w sumie powyżej.

MidnightDreamer · Post autor: **MidnightDreamer** » 28 sty 2006, o 20:43

PawelJan dzieki wielkie!! juz chyba rozumiem o co chodzi:) i faktycznie sprawdza sie to z moim przykladem i juz rozumiem skad sa te cyferki, teraz pozostaje pocwiczyc na przykladach, zeby sie nie mylilo. Normalnie nie wiem jak Ci dziekowac:)

Jeszcze mam takie male pytanko (zeby nie zakladac nowego topiku i nie smiecic forum)
kiedy mam takie np. zadanie:

x+y+z=0
2x-y-z=0
x-y+z=0

i mam z tego obliczyc W, Wx, Wy, Wz. Wszystko wiem jak zrobic bo trzeba tylko podstawiac do wzoru np. x=Wx:W, ale co bedzie jesli wyznacznik wyjdzie 0?

PawelJan · Post autor: **PawelJan** » 28 sty 2006, o 21:16

Wtedy masz do czynienia już nie z układem Cramera. Rozwiązanie będzie zależało od jednego bądź dwóch parametrów, w zależności od tego, jaki będzie faktyczny rząd macierzy układu.
Dokładniej chodzi o twierdzenie Kroneckera-Capellego. Odsyłam do ... -Capellego

MidnightDreamer · Post autor: **MidnightDreamer** » 31 sty 2006, o 10:08

Dzieki stary!!! Zaliczone!!