Zadanie
Proszę udowodnić wzór: \(\displaystyle{ (AB)^{T}=B^{T}A^{T}}\)
Proszę o informację jak zabrać się do tego zadania, z czego skorzystać itp.
Z góry bardzo dziękuje
Udowodnić wzór
-
miodzio1988
Udowodnić wzór
po prostu skorzystaj z definicji iloczynu dwoch macierzy ( to ta z sumą). Dowod jest bardzo latwy. Jak wiesz jak dziala transpozycja macierzy to powinnienes dac sobie rade.
-
Axis
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 6 mar 2009, o 20:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: North
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 3 razy
Udowodnić wzór
\(\displaystyle{ Niech: \ A=\begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix}\ i \ B=\begin{bmatrix} e&f\\g&h\end{bmatrix} \\ Zatem:\ AB=\begin{bmatrix} ae+bg&af+bh\\ce+dg&cf+dh\end{bmatrix} \\
(AB) ^{T}=\begin{bmatrix} ae+bg&ce+dg\\af+bh&cf+dh\end{bmatrix}\\
A ^{T} =\begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix} ^{T}= \begin{bmatrix} a&c\\b&d\end{bmatrix}\\
B ^{T}= \begin{bmatrix} e&f\\g&h\end{bmatrix} ^{T}= \begin{bmatrix} e&g\\f&h\end{bmatrix}\\
Czyli: \ B ^{T}A ^{T}=\begin{bmatrix} ae+bg&ce+dg\\af+bh&cf+dh\end{bmatrix}=(AB) ^{T} \quad \quad \qqquad \quad \quad \quad c.n.u.}\)
(AB) ^{T}=\begin{bmatrix} ae+bg&ce+dg\\af+bh&cf+dh\end{bmatrix}\\
A ^{T} =\begin{bmatrix} a&b\\c&d\end{bmatrix} ^{T}= \begin{bmatrix} a&c\\b&d\end{bmatrix}\\
B ^{T}= \begin{bmatrix} e&f\\g&h\end{bmatrix} ^{T}= \begin{bmatrix} e&g\\f&h\end{bmatrix}\\
Czyli: \ B ^{T}A ^{T}=\begin{bmatrix} ae+bg&ce+dg\\af+bh&cf+dh\end{bmatrix}=(AB) ^{T} \quad \quad \qqquad \quad \quad \quad c.n.u.}\)
-
miodzio1988
Udowodnić wzór
Axis dowod dla macierzy 2 na 2 jest nietrafiony. Wlasnosc nalezy udowodnic dla macierzy dowolnego typu. (oczywisice takich aby mozna bylo dokonac mnozenia).-- 18 marca 2009, 11:24 --Niech \(\displaystyle{ A \in P^{n} _{m}}\) i \(\displaystyle{ B \in P^{q} _{n}}\)
\(\displaystyle{ i=1...n}\)
\(\displaystyle{ j=1...m}\)
chcemy pokazac , ze:
\(\displaystyle{ (A*B)^{T}(i,j) =[ (B)^{T} (A)^{T} ](i,j)}\)
\(\displaystyle{ (A*B)^{T}(i,j)=(A*B)(j, i)= \sum_{k=1}^{n} A(j,k) B(k, i)= \sum_{k=1}^{n} A^{T}(k,j) B^{T}(i,k)=\sum_{k=1}^{n} B^{T}(i,k) A^{T}(k,j)=[(B)^{T} (A)^{T} ](i,j)}\)
jest dowod;] Wszystko ladnie poszlo z definicji.
\(\displaystyle{ i=1...n}\)
\(\displaystyle{ j=1...m}\)
chcemy pokazac , ze:
\(\displaystyle{ (A*B)^{T}(i,j) =[ (B)^{T} (A)^{T} ](i,j)}\)
\(\displaystyle{ (A*B)^{T}(i,j)=(A*B)(j, i)= \sum_{k=1}^{n} A(j,k) B(k, i)= \sum_{k=1}^{n} A^{T}(k,j) B^{T}(i,k)=\sum_{k=1}^{n} B^{T}(i,k) A^{T}(k,j)=[(B)^{T} (A)^{T} ](i,j)}\)
jest dowod;] Wszystko ladnie poszlo z definicji.
-
Axis
- Użytkownik
- Posty: 33
- Rejestracja: 6 mar 2009, o 20:28
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: North
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 3 razy
Udowodnić wzór
No racja miodzio1988 zawęziłem znacznie swój dowód niemniej jednak musisz przyznać że dowiodłem prawdziwość równania \(\displaystyle{ (AB) ^{T}=B ^{T}A ^{T}}\) dla 2 dowolnych macierzy kwadratowych drugiego stopnia.
btw nie przesadziłeś z nawiasami?
btw nie przesadziłeś z nawiasami?
miodzio1988 pisze: \(\displaystyle{ [(B)^{T} (A)^{T} ](i,j)}\)
-
miodzio1988
Udowodnić wzór
no dowiodles;] Ja tez dowiodlem dla macierzy kwadratowej, wiesz? troche szybciej , nie?Axis pisze:No racja miodzio1988 zawęziłem znacznie swój dowód niemniej jednak musisz przyznać że dowiodłem prawdziwość równania \(\displaystyle{ (AB) ^{T}=B ^{T}A ^{T}}\) dla 2 dowolnych macierzy kwadratowych drugiego stopnia.
btw nie przesadziłeś z nawiasami?miodzio1988 pisze: \(\displaystyle{ [(B)^{T} (A)^{T} ](i,j)}\)
A dodatkowe nawiasy mialy poprawic czytelnosc dowodu. Rzeczywiscie niektore są zbędne.