Równanie macierzowe

[Axis]

Rozwiąż równanie macierzowe e względu na X jeśli A i X są macierzami tego samego stopnia:

\(\displaystyle{ (X ^{T} \cdot X) ^{-1} \cdot X ^{T}=A \quad | \cdot (X ^{T}X)\ lewostronnie\\\\X ^{T}=(X ^{T}X)A\quad /transponujemy\\\\(X ^{T}) ^{T}=(X ^{T}X) ^{T} \cdot A ^{T}\\\\X=XX ^{T} \cdot A ^{T}\quad | \cdot X ^{-1} \ lewostronnie\\\\X ^{-1} \cdot X=X ^{-1} \cdot X \cdot X ^{T} \cdot A ^{T}\\\\I=IX ^{T} \cdot A ^{T} | \cdot (A ^{T}) ^{-1} \\\\(A ^{T}) ^{-1}=X ^{T} \ /transponujemy\\\\(X ^{T}) ^{T}=[(A ^{T}) ^{-1}] ^{T}\\\\X=[(A ^{T}) ^{T}] ^{-1}\\\\X=A ^{-1}}\)

Czy poprawnie rozwiązałem to równanie? Będę wdzięczny za wszelkie uwagi
Ej no... to tylko tak strasznie wygląda...

[xiikzodz]

Zle, bo \(\displaystyle{ A}\) nie musi byc odwracalna, przynajmniej nie napisales, ze musi. Zatem \(\displaystyle{ (A^T)^{-1}}\) nie musi istniec.

Poza tym

\(\displaystyle{ ((X^TX)A)^T}\)

jest rowne

\(\displaystyle{ A^TX^TX}\)

a nie

\(\displaystyle{ XX^TA^T}\)

Tym niemniej wynik masz dobry, bo rownosc

\(\displaystyle{ X=XX^TA^T}\)

jest przypadkowo prawdziwa tak jak i wszystkie pozostale, mimo, ze otrzymane niepoprawnie.

Pelne poprawne rozwiazanie od drugiej linijki twojego, ktora jest OK:

\(\displaystyle{ X^T=X^TXA}\) mnozymy lewostronnie przez \(\displaystyle{ (X^T)^{-1}}\)

\(\displaystyle{ I=XA}\) mnozymy lewostronnie przez \(\displaystyle{ X^{-1}}\)

\(\displaystyle{ X^{-1}=A}\)

[Axis]

Wielkie dzięki za te wyjaśnienia. A jeśli chodzi o \(\displaystyle{ (X ^{T}XA) ^{T}}\) to rozumiem że trzeba skorzystać z zależności \(\displaystyle{ (ABC) ^{T} = C ^{T}B ^{T}A ^{T}}\) czyli analogicznej do \(\displaystyle{ (ABC) ^{-1}=C ^{-1}B ^{-1}A ^{-1}}\). Tą drugą własność znałem jednak tej pierwszej nie. Ale rozwiązując to równanie twoją metodą można nawet obejść znajomość tej własności. Wystarczy jedynie wiedzieć że \(\displaystyle{ AA ^{-1}=I}\). No i Twoje rozwiązanie jest znacznie krótsze.
Jeszcze raz wielkie dzięki