Witam
Otóż mam takie zadanie :
Wykazać że dla dowolnych wektorów x,y przestrzeni unitarnej X nad ciałem C zachodzi równość :
\(\displaystyle{ ||x+y||^{2}=||x||^2+2Re<x,y>+||y||^2}\).
Będę wdzięczna za pomoc.
Wektory - przestrzeń unitarna (równość)
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Wektory - przestrzeń unitarna (równość)
Rozpisujemy:
\(\displaystyle{ \|x + y\|^{2} = \langle x + y, x + y\rangle}\)
i korzystając z własności iloczynu skalarnego dostajemy:
\(\displaystyle{ \langle x + y, x + y\rangle = \langle x, x + y\rangle + \langle y, x+ y \rangle = \langle x, x\rangle + (\langle x, y \rangle + \langle y, x\rangle) + \langle y, y\rangle}\)
A to ostatnie to prawa strona naszej równości, bo \(\displaystyle{ \langle z, z \rangle = \|z\|^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \langle z, t\rangle = \overline{ \langle t,z\rangle}}\) a \(\displaystyle{ u + \overline{u} = 2\mbox{Re} \, (z)}\) dla dowolnych wektorów \(\displaystyle{ z,t}\) przestrzeni unitarnej i dowolnej liczby zespolonej \(\displaystyle{ u.}\)
\(\displaystyle{ \|x + y\|^{2} = \langle x + y, x + y\rangle}\)
i korzystając z własności iloczynu skalarnego dostajemy:
\(\displaystyle{ \langle x + y, x + y\rangle = \langle x, x + y\rangle + \langle y, x+ y \rangle = \langle x, x\rangle + (\langle x, y \rangle + \langle y, x\rangle) + \langle y, y\rangle}\)
A to ostatnie to prawa strona naszej równości, bo \(\displaystyle{ \langle z, z \rangle = \|z\|^{2}}\) oraz \(\displaystyle{ \langle z, t\rangle = \overline{ \langle t,z\rangle}}\) a \(\displaystyle{ u + \overline{u} = 2\mbox{Re} \, (z)}\) dla dowolnych wektorów \(\displaystyle{ z,t}\) przestrzeni unitarnej i dowolnej liczby zespolonej \(\displaystyle{ u.}\)