równanie drugiego stopnia z parametrem

[zet]

Witam!
na poczatek -> jezeli w złym dziale dałem ten post to prosze o przekierowanie, ale naprawde- nei znalazłem nic odpowiadającego, lub źle szukałem

do rzeczy:
zadanie jest takie:
mx-2y=3
x+4y=4

dla jakich wartosci parametru m rozwiązaniem układu jest para liczb o jednakowych znakach?

jak to rozwiązac?
z góry dzieki za wszelką pomoc

[soliter]

Rozwiąż ten układ równań (tzn. doprowadź x i y do postaci "m-owej"), po czym rozwiąż nierówność \(\displaystyle{ xy\ge 0}\)
Poprawny wynik to prawdopodobnie \(\displaystyle{ m\ge \frac34}\)

[Tristan]

Można też zrobić zadanie metodą wyznaczników.
\(\displaystyle{ W=4m+2, W_{x}=20, W_{y}=4m-3}\)
Czyli do rozwiązania jest nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{4m-3}{4m+2} \frac{10}{2m+1} q 0}\)
Po rozwiązaniu istotnie otrzymamy, że:
\(\displaystyle{ m q \frac{3}{4}}\)

[zet]

no tak , to skąd w odpowiedzi jest ze \(\displaystyle{ m (o,4)}\)

[Tristan]

Albo źle nam przepisałeś ten układ, albo po prostu w odpowiedzach jest błąd

[zet]

no fakt , pomyliłem zadania. sorka

no to tak:
nie wiem jka to obliczyłes, nie wątpie ze dobrze, ale jak ja to liczyłem to wychodziło mi cos takiego:
\(\displaystyle{ W=m^{2}+2 W\neq 0 \Leftrightarrow m\neq \sqrt{2}}\)
\(\displaystyle{ W_{x}=3-4m}\)
\(\displaystyle{ W_{y}=4m-3}\)
a wiec:
\(\displaystyle{ x=\frac{3-4m}{m^{2}+2}}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{4m-3}{m^{2}+2}}\)

później rozwiązałem równanie xy>0 (dla dwóch różnych rozwiązań jednakowych znaków)
no i wyszło mi:
\(\displaystyle{ (-16m^{2} + 24m - 9)(m^4 + m^{2} +4) > 0}\)
z tego wyszlo ze \(\displaystyle{ m= \frac{3}{4}}\) i \(\displaystyle{ m=-2}\)
a wiec dla mnie to rozwiązaniem układu jest \(\displaystyle{ m\in (- ; -2 ) \cup ( \frac{3}{4} ; ) / { \sqrt{2} }}\)

czy ktos by mi wyjasnił dlaczego robie źle??

acha, a w ogóle w odpowiedzi jest cos takiego: \(\displaystyle{ m (- ; - \frac{8}{3} ) \cup ( \frac{3}{4} ; )}\)
a te osiemtrzecich to juz zupełnie nie wiem skad sie bierze;/

[Tristan]

E...chyba nie potafisz liczyć wyznaczników, albo coś Ci się bardzo mocno kopnęło. Wyznaczniki wszystkie policzyłem dobrze, ponieważ wyzczacznik główny to \(\displaystyle{ W=\left[\begin{array}{cc}m&-2\\1&4\end{array}\right]=4m-(-2)=4m+2}\), a wyznacznik iksowy to \(\displaystyle{ W_{x}=\left[\begin{array}{cc}3&-2\\4&4\end{array}\right]=12-(-8)=20}\). Reszta obliczeń również jest poprawna, więc ta odpowiedź którą podałem jest okey.

[zet]

jezus maria, kurde, jak pisałem tego posta to jakis chyba nieswiezy byłem ;/

źle napisałem układ ;/
te górne równanie jest dobre, natomiast te dolne powinno wyglądac tak:
x+my=4

jescze raz przepraszam za zawracanie głowy, teraz juz jest dobrze!

[Tristan]

No to \(\displaystyle{ W=m^2+2}\) i oczywiście on jest różny od zera dla każdego m rzeczywistego . \(\displaystyle{ W_{x}=3m+8}\) i \(\displaystyle{ W_{y}=4m-3}\). Czyli do rozwiązania mamy nierówność:
\(\displaystyle{ \frac{(3m+8)(4m-3)}{(m^2+2)^2} >0}\)
Skoro widzimy, że mianownik jest większy od zera, więc po prostu rozwiązujemy nierówność:
\(\displaystyle{ (3m+8)(4m-3)>0}\)
\(\displaystyle{ 12(m+\frac{8}{3})(m-\frac{3}{4})>0}\)
No i rysujemy parabolę, rączki do góry, bo funkcja jest uśmiechnięta, że przy najwyższej potędze ma coś więcej od zera , i teraz odpowiedź zgadza się oczywiście z tą książkową.

[zet]

czy jest jakis sposób na to by szybko stwierdzic, ze mianownik jest wiekszy od zera, czy poprostu trza byc bestią inteligencji :> ??

[Tristan]

Jest szybki sposób. Gdy widzimy, że to co w mianowniku jest w kwadracie, to na pewno cały mianownik jest większy od zera ( w końcu każda liczba rzeczywista podniesiona do kwadratu jest większa od zera)

[zet]

a no tak , bo mianownik to jest to na dole (no comment )

a treraz jest sobie zadanko podobne, i znowu sie tu zacinam troche, jest takie cos:
2x+3y=4
4x+my=2m
dla jakich wart par m rozwiazaniem jest para liczb dodatnich?


jakbys mógł powiedziec tylko jakie równania trzeba rozwiązac i jakie sa wyniki poszczególnych równan, to by było fajnie

bo mi jais kosmos wychodzi ;/

[Tristan]

Warunki które muszą zachodzić jednocześnie, by para liczb była dodatnia to: xy>0 i x+y>0.
\(\displaystyle{ W= 2m-12, W_{x}=-2m,W_{y}=4m-16}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{-m}{m-6},y=\frac{2m-8}{m-6}}\)
\(\displaystyle{ \frac{-m}{m-6} + \frac{2m-8}{m-6}>0}\)
\(\displaystyle{ \frac{-m+2m-8}{m-6}>0}\)
\(\displaystyle{ (m-8)(m-6)>0}\)
A zarazem musi być spełniony drugi warunek, czyli:
\(\displaystyle{ \frac{-m}{m-6} \cdot \frac{2m-8}{m-6} >0}\)
\(\displaystyle{ \frac{-m(2m-8)}{(m-6)^2}>0}\)
\(\displaystyle{ -2m(m-4)>0}\)
Iloczyn tych zbiorów to odpowiedz, czyli \(\displaystyle{ m (0;4)}\).

[zet]

mała poprawka:
jest tam:
-2m(m - 4) > 0
a wiec me(0;4) (tak ja w odpowiedzi)
ale dzieki za pomoc, przynajmniej wiem juz jak robic
ale dalej nie wiem np tego:
dlaczego jezeli z pierwszego równania wyszło,ze me(-niesk:6)u(8;niesk)
a z srugiego tak jak w odpowiedzi, to czemu bierzemy pod uwage tylko to drugie??

[Tristan]

Tak, zgadza się. Drobna pomyłka, już poprawiłem. Chodzi o to, że gdy liczby x i y spełniająć pierwszy warunek, tj. x+y, wtedy parametr m należy do tego dużego przedziału, ale zarazem wtedy te liczby to może być -7 i 5, dlatego potrzebny jest nam ten drugi warunek, tj. xy>0, który musi zachodzić jednocześnie z tym pierwszym. I tak się po prostu złożyło, że część wspólna z tych dwóch warunków, to zarazem cały ten drugi zbiór .