odwzorowanie, wyznaczyc jadra, obrazy, wymiary, bazy

[iks_iks]

a) uzasadnić że układ wektorów \(\displaystyle{ B=(u, v, w, z)}\) jest bazą przestrzeni wektorowej \(\displaystyle{ R^4}\) jeśli \(\displaystyle{ u=(1, 0, 0, 5), v=(0, 0, 1, 5), w=(5, 1, 0, 0), z=(1, -2, 3, -4)}\).

b) dane jest odwzorowanie liniowe \(\displaystyle{ f:R^3 \rightarrow R^4: f(x, y, z)=(2x +z, 2y-4z, 2x+2y-3z, -2x+2y-3z)}\). wyznaczyć Kerf, Imf, ich bazy i wymiary.

[Szemek]

a)
\(\displaystyle{ \hbox{dim} \mathbb{R}^4 = 4}\)
sprawdzasz czy wektory są liniowo niezależne
I sposób:
rozwiązujesz układ równań
\(\displaystyle{ \alpha u + \beta v + \gamma w + \delta z = 0}\)
jeśli \(\displaystyle{ \alpha = \beta = \gamma = \delta = 0}\) to wektory są liniowo niezależne

II sposób:
tworzysz macierz złożoną z tych wektorów (kolumnami lub wierszami)
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 5 \\
0 & 0 & 1 & 5 \\
5 & 1 & 0 & 0 \\
1 &-2 & 3 &-4 \end{vmatrix}}\)
jeśli wyznacznik tej macierzy jest różny od zera to wektory są liniowo niezależne-- 6 marca 2009, 13:42 --b)
\(\displaystyle{ \hbox{Ker}f := \{ \overline{x}\in X: f(\overline{x})=\overline{0}_y\}}\)

\(\displaystyle{ \hbox{Im}f:=\{ \overline{y}\in Y: \exists_{\overline{x}\in X} : \overline{y}=f(\overline{x}) \}}\)