Udowodnić, że macierz A jest dodatnio określona, a macierz B nieosobliwa wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyn \(\displaystyle{ BAB^{T}}\) jest
dodatnio określony.
Macierz nieosobliwa i dodatnio określona
-
max
- Użytkownik
- Posty: 3306
- Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Lebendigentanz
- Podziękował: 37 razy
- Pomógł: 778 razy
Macierz nieosobliwa i dodatnio określona
Rozumiem, że \(\displaystyle{ A}\) jest symetryczną macierzą o współczynnikach rzeczywistych?
Można to widzieć jako następstwo tw Lagrange'a o bezwładności form kwadratowych:
Oznaczmy stopień tych macierzy kwadratowych przez \(\displaystyle{ n.}\)
Ustalmy pewną bazę \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}.}\)
Macierzy \(\displaystyle{ A}\) odpowiada wtedy pewna forma kwadratowa \(\displaystyle{ q: \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}.}\)
Jest ona dodatnio określona wtw gdy \(\displaystyle{ A}\) jest dodatnio określona.
Jeśli \(\displaystyle{ B}\) jest nieosobliwa, to \(\displaystyle{ BAB^{T}}\) jest macierzą formy \(\displaystyle{ q}\) przy innej bazie, gdzie zależność między tymi bazami jest określona właśnie przez macierz \(\displaystyle{ B.}\)
Z tw o bezwładności otrzymujemy, że określoność formy \(\displaystyle{ q}\) nie zależy od doboru bazy, więc \(\displaystyle{ BAB^{T}}\) jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A}\) jest dodatnio określona.
Teraz wystarczy jeszcze dopowiedzieć, że gdy \(\displaystyle{ B}\) jest osobliwa, to \(\displaystyle{ BAB^{T}}\) również, więc nie może być dodatnio określona.
Można to widzieć jako następstwo tw Lagrange'a o bezwładności form kwadratowych:
Oznaczmy stopień tych macierzy kwadratowych przez \(\displaystyle{ n.}\)
Ustalmy pewną bazę \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{n}.}\)
Macierzy \(\displaystyle{ A}\) odpowiada wtedy pewna forma kwadratowa \(\displaystyle{ q: \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}^{n}\to \mathbb{R}.}\)
Jest ona dodatnio określona wtw gdy \(\displaystyle{ A}\) jest dodatnio określona.
Jeśli \(\displaystyle{ B}\) jest nieosobliwa, to \(\displaystyle{ BAB^{T}}\) jest macierzą formy \(\displaystyle{ q}\) przy innej bazie, gdzie zależność między tymi bazami jest określona właśnie przez macierz \(\displaystyle{ B.}\)
Z tw o bezwładności otrzymujemy, że określoność formy \(\displaystyle{ q}\) nie zależy od doboru bazy, więc \(\displaystyle{ BAB^{T}}\) jest dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ A}\) jest dodatnio określona.
Teraz wystarczy jeszcze dopowiedzieć, że gdy \(\displaystyle{ B}\) jest osobliwa, to \(\displaystyle{ BAB^{T}}\) również, więc nie może być dodatnio określona.