jądro przekształcenia liniowego

[ja.rafal]

jak wyznaczyć jądro przekształcenia liniowego
np. f(x,y,z)=(x+y, y+z, x-z)
jądro jest jedno czy można wyznaczyć kilka?

[g]

przeciez juz po pprzeczytaniu samego tytulu watku mozna udzielic odpowiedzi... \(\displaystyle{ \ker f = \{ 0 \}}\)

[ja.rafal]

a istnieje jakies inne niezerowe?
jesli mamy podane jądro ktore nie jest zerowe to czy to przekształcenie może być liniowe?

[g]

przepraszam, pomylka, zeby jadro zawieralo tylko zero to f musi byc monomorfizmem. jadro zawsze zawiera zero. kernel zawsze jest jeden, bo to zbior. moze miec wiecej elementow, jak f jest epimorfizmem, a nie jest monomorfizmem. prosty przyklad - \(\displaystyle{ X = \mathbb{R}, Y = \{ 0 \}, f: X \ni x \mapsto 0 Y}\). wtedy \(\displaystyle{ \ker f = \mathbb{R}}\). ale w twoim przykladzie na oko widac, ze f to monomorfizm. ale zawsze mozesz wskazac kernel z definicji.

[Cod]

Jądro tego przekształcenia to wcale nie 0 (tak mi się przynajmniej wydaje).

Na ćwiczeniach poznałem prosty sposób znajdowania ker i im, znając wzór przekształcenia. Robi się to tak:

1. Tworzy się macierz:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccc}1&0&0&1&0&1\\0&1&0&1&1&0\\0&0&1&0&1&-1\end{array}\right]}\)

Czyli po lewej stronie jest macierz jednostkowa, a po prawej wpisane wierszami współczynniki przy kolejnych niewiadomych.

2. Doprowadza się tę macierz do takiej postaci (stosując odpowiednie operacje na wierszach):

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccccc}1&0&0&1&0&1\\-1&1&0&0&1&-1\\1&-1&1&0&0&0\end{array}\right]}\)

Czyli tę prawą stronę sprowadzamy do postaci schodkowej.

3. Jeżeli w prawej części macierzy jakieś wiersze się wyzerowały, to tworzymy sobie wektory o współrzędnych pobranych z części na lewo od zer i ich kombinacja liniowa to jądro. Czyli tutaj:

\(\displaystyle{ ker(f)=lin(1,-1,1)}\)

4. Teraz bierzemy już tylko prawą część pod uwagę. Tworzymy wektory o współrzędnych zczytywanych wierszami z prawej strony (oczywiście prócz tych zerowych, bo po co) i ich kombinacja liniowa to obraz. Czyli tutaj:

\(\displaystyle{ im(f)=lin(1,0,1)(0,1,-1)}\)

Mam nadzieję, że zrozumieliście, o co mi chodzi .

[g]

o kuzwa racja...

ale w twoim przykladzie na oko widac, ze f to monomorfizm.

x+y-(y+z)=x-z lol...