Odległość punktu od płaszczyzny

[Krisb]

Chciałbym prosić o pomoc w rozwiązaniu poniższych zadań:

1) Należy znalezc odległość punktu \(\displaystyle{ A(4,3,0)}\) od plaszczyzny:

\(\displaystyle{ H: \begin{cases} x=1+3t+2s \\ y=3-4t-3s \\ z=2t+s \end{cases}}\)

Odp.: \(\displaystyle{ \sqrt{6}}\)

Żeby nie zakładać nowego tematu, poniżej umieszczam podobne zadanie:

2) Należy obliczyć odległość punktu \(\displaystyle{ A(3,4,5)}\) od prostej:

\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x+y+z=0 \\ x-y+z=2 \end{cases}}\)

Odp.: \(\displaystyle{ \sqrt{178}/4}\)

[sir_matin]

1. Przekształcasz równanie parametryczne do równania ogólnego:


\(\displaystyle{ H: \begin{cases} x=1+3t+2s \\ y=3-4t-3s \\ z=2t+s \end{cases} \Rightarrow 2x+y+z-5=0}\)

i korzystasz ze wzoru na odległość punktu od płaszczyzny:

\(\displaystyle{ d= \frac{ \left|Ax_{A}+By_{A}+Cz_{A}+D \right| }{ \sqrt{A^{2}+B^{2}+C^{2}}}}\)

[Krisb]

Dzięki za odpowiedź.

Co do drugiego zadania, mam równianie (ogólne) prostej prostopadłej do \(\displaystyle{ l}\), ale mam problem z rówaniem \(\displaystyle{ l}\) w postaci ogólnej. Gdybym to miał to raczej łatwiej byłoby wyznaczyc punkt przecięcia i długosc wektora np. AS (S(x,y,z) punk przecięcia prostych).

[maciek7337]

prosze o pomoc w rozwiązaniu zadania
uzasadnij, że suma odległości punktu przecięcia przekątnych czworokąta od wierzchołków czworokąta jest mniejsza od sumy odległości dowolnego innego punktu płaszczyzny od wierzchołków tego czworokąka.