Czy ktoś mógłby mi sprawdzić czy dobrze wyznaczyłem jądro i obraz? Będę BARDZO wdzięczny...
a) f: R^2->R i f(x1,x2)=x1-x2
to jest homomorfizm, sprawdzałem ;
x1-x2=0
x1=x2
kerf={(x1,x2) należy do R^2, f(x1,x2)=0}={(x1,x1), x1 należy do R}= {x1(1,1), x1 należy do R}
jądro (1,1)
Imf={r należy do R; istnieje x1,x2 należące do R^2 r=f(x1,x2)}
(r)=(x1-x2)=(x1)+(x2)=x1*1+x2*1
obrazem jest liczba 1
b) f:R^3->R^3 i f(x1,x2,x3)=(x3,x1,x2)
Kerf={(x1,x2,x3) należy do R^3; f(x1,x2,x3)=(0,0,0)}
x1=0
x2=0
x3=0
czyli jądrem jest wektor zerowy
Imf={(r,s,t) należy do R^3; istnieje x1,x2,x3 należące do R^3 (r,s,t)=f(x1,x2,x3)}
(r,s,t)=(x3,x1,x2)=(0,x1,0)+(0,0,x2)+(x3,0,0)=x1(0,1,0)+x2(0,0,1)+x3(1,0,0)
czyli obrazem są wektory (0,1,0), (0,0,1), (1,0,0)