określonosc formy kwadratowej

olicama1989 · Post autor: **olicama1989** » 27 lut 2009, o 11:29

\(\displaystyle{ 2 x_{1} ^{2}+7 x_{2} ^{2}+3 x_{3} ^{2}- 4 x_{4}+2 x_{1}x_{2}+6x_{1}x_{4}-4x_{2}x_{3}-2x_{3}x_{4}}\)

max · Post autor: **max** » 27 lut 2009, o 13:08

Jest z tym mały problem - to nie jest forma kwadratowa.

olicama1989 · Post autor: **olicama1989** » 27 lut 2009, o 15:15

dlaczego?

max · Post autor: **max** » 27 lut 2009, o 15:33

Nie spełnia definicji.
Gdyby istniało odwzorowanie dwuliniowe symetryczne \(\displaystyle{ f}\) takie, że \(\displaystyle{ f(x, x)}\) jest równe temu wyrażeniu dla \(\displaystyle{ x = (x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}),}\) to z dwuliniowości \(\displaystyle{ f}\) byłoby dla dowolnego skalara \(\displaystyle{ \lambda:}\)
\(\displaystyle{ f(\lambda x, \lambda x) = \lambda^{2}f(x, x),}\) a tak nie jest np dla \(\displaystyle{ x = (0,0,0,1), \lambda = 2.}\)

Czy tam na pewno powinien być składnik \(\displaystyle{ -4x_{4}}\) (to on wszystko psuje) a nie przypadkiem \(\displaystyle{ -4x_{4}^{2}}\) ?

olicama1989 · Post autor: **olicama1989** » 27 lut 2009, o 17:41

mozliwe, ze jest błąd w druku.

max · Post autor: **max** » 27 lut 2009, o 20:11

Jeśli więc zamiast \(\displaystyle{ -4x_{4}}\) jest tam \(\displaystyle{ -4x_{4}^{2},}\) to można sprowadzić tę formę kwadratową do postaci kanonicznej (np metodą Lagrange'a) lub policzyć minory główne macierzy tej formy i skorzystać z (licząc tą drugą metodą wyszło mi, że jest dodatnio określona, ale mogłem się pomylić w rachunkach).