Dostałam współrzędne (-5,473) (-3,43) (1,-1) (3,97) (5,723) x=2
czy ktoś mógłby wyprowadzić mi z tego wzór na W(x)?? i mniej więcej powiedzieć co jak i dlaczego? Z góry dziękuje
Interpolacja Lagrange'a
-
Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Interpolacja Lagrange'a
Masz 5 punktów więc będzie to wielomian czwartego stopnia
Zapisz wielomian w postaci ogólnej
Ułóż układ równań tak aby spełnione były
\(\displaystyle{ W(x_{i})=y_{i}}\)
\(\displaystyle{ W(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 625a_{4}-125a_{3}+25a_{2}-5a_{1}+a_{0}=473 \\ 81a_{4}-27a_{3}+9a_{2}-3a_{1}+a_{0}=43\\ a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}=-1\\81a_{4}+27a_{3}+9a_{2}+3a_{1}+a_{0}=97\\625a_{4}+125a_{3}+25a_{2}+5a_{1}+a_{0}=723\end{cases}}\)
Układ rozwiązac możesz za pomocą eliminacji Gaussa albo rozkładu LU
Najprościej metodą eliminacji Gaussa
\(\displaystyle{ \begin{cases} 625a_{4}-125a_{3}+25a_{2}-5a_{1}+a_{0}=473 \\ 81a_{4}-27a_{3}+9a_{2}-3a_{1}+a_{0}=43\\ a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}=-1\\81a_{4}+27a_{3}+9a_{2}+3a_{1}+a_{0}=97\\625a_{4}+125a_{3}+25a_{2}+5a_{1}+a_{0}=723\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}=-1\\ 81a_{4}-27a_{3}+9a_{2}-3a_{1}+a_{0}=43\\ 625a_{4}-125a_{3}+25a_{2}-5a_{1}+a_{0}=473 \\81a_{4}+27a_{3}+9a_{2}+3a_{1}+a_{0}=97\\625a_{4}+125a_{3}+25a_{2}+5a_{1}+a_{0}=723\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}=-1\\ -81a_{4}+27a_{3}-9a_{2}+3a_{1}-a_{0}=-43\\- 625a_{4}+125a_{3}-25a_{2}+5a_{1}-a_{0}=-473 \\81a_{4}+27a_{3}+9a_{2}+3a_{1}+a_{0}=97\\625a_{4}+125a_{3}+25a_{2}+5a_{1}+a_{0}=723\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}=-1\\ 81a_{4}-27a_{3}+9a_{2}-3a_{1}+a_{0}=43\\ 625a_{4}-125a_{3}+25a_{2}-5a_{1}+a_{0}=473 \\ 27a_{3}+3a_{1}+a_{0}=27\\125a_{3}+5a_{1}+a_{0}=125\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -81a_{4}-81a_{3}-81a_{2}-81a_{1}-81a_{0}=81\\ 81a_{4}-27a_{3}+9a_{2}-3a_{1}+a_{0}=43\\ 625a_{4}-125a_{3}+25a_{2}-5a_{1}+a_{0}=473 \\ 27a_{3}+3a_{1}+a_{0}=27\\125a_{3}+5a_{1}+a_{0}=125\end{cases}}\)
Eliminację Gaussa trzeba doprowadzic do końca aby otrzymac wynik
Eliminację Gaussa kontynuujesz aż do uzyskania
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{4}=1 \\ a_{3}=1 \\a_{2}=-1\\a_{1}=0\\a_{0}=-2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ W(x)=x^{4}+x^{3}-x^{2}-2}\)
Pierwsze równanie odpowiada za to że pierwszy punkt należy do wykresu wielomianu
Drugie równanie odpowiada za to że drugi punkt należy do wykresu wielomianu etc
Zapisz wielomian w postaci ogólnej
Ułóż układ równań tak aby spełnione były
\(\displaystyle{ W(x_{i})=y_{i}}\)
\(\displaystyle{ W(x)=a_{4}x^{4}+a_{3}x^{3}+a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 625a_{4}-125a_{3}+25a_{2}-5a_{1}+a_{0}=473 \\ 81a_{4}-27a_{3}+9a_{2}-3a_{1}+a_{0}=43\\ a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}=-1\\81a_{4}+27a_{3}+9a_{2}+3a_{1}+a_{0}=97\\625a_{4}+125a_{3}+25a_{2}+5a_{1}+a_{0}=723\end{cases}}\)
Układ rozwiązac możesz za pomocą eliminacji Gaussa albo rozkładu LU
Najprościej metodą eliminacji Gaussa
\(\displaystyle{ \begin{cases} 625a_{4}-125a_{3}+25a_{2}-5a_{1}+a_{0}=473 \\ 81a_{4}-27a_{3}+9a_{2}-3a_{1}+a_{0}=43\\ a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}=-1\\81a_{4}+27a_{3}+9a_{2}+3a_{1}+a_{0}=97\\625a_{4}+125a_{3}+25a_{2}+5a_{1}+a_{0}=723\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}=-1\\ 81a_{4}-27a_{3}+9a_{2}-3a_{1}+a_{0}=43\\ 625a_{4}-125a_{3}+25a_{2}-5a_{1}+a_{0}=473 \\81a_{4}+27a_{3}+9a_{2}+3a_{1}+a_{0}=97\\625a_{4}+125a_{3}+25a_{2}+5a_{1}+a_{0}=723\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}=-1\\ -81a_{4}+27a_{3}-9a_{2}+3a_{1}-a_{0}=-43\\- 625a_{4}+125a_{3}-25a_{2}+5a_{1}-a_{0}=-473 \\81a_{4}+27a_{3}+9a_{2}+3a_{1}+a_{0}=97\\625a_{4}+125a_{3}+25a_{2}+5a_{1}+a_{0}=723\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{4}+a_{3}+a_{2}+a_{1}+a_{0}=-1\\ 81a_{4}-27a_{3}+9a_{2}-3a_{1}+a_{0}=43\\ 625a_{4}-125a_{3}+25a_{2}-5a_{1}+a_{0}=473 \\ 27a_{3}+3a_{1}+a_{0}=27\\125a_{3}+5a_{1}+a_{0}=125\end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} -81a_{4}-81a_{3}-81a_{2}-81a_{1}-81a_{0}=81\\ 81a_{4}-27a_{3}+9a_{2}-3a_{1}+a_{0}=43\\ 625a_{4}-125a_{3}+25a_{2}-5a_{1}+a_{0}=473 \\ 27a_{3}+3a_{1}+a_{0}=27\\125a_{3}+5a_{1}+a_{0}=125\end{cases}}\)
Eliminację Gaussa trzeba doprowadzic do końca aby otrzymac wynik
Eliminację Gaussa kontynuujesz aż do uzyskania
\(\displaystyle{ \begin{cases} a_{4}=1 \\ a_{3}=1 \\a_{2}=-1\\a_{1}=0\\a_{0}=-2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ W(x)=x^{4}+x^{3}-x^{2}-2}\)
Pierwsze równanie odpowiada za to że pierwszy punkt należy do wykresu wielomianu
Drugie równanie odpowiada za to że drugi punkt należy do wykresu wielomianu etc
-
miki999
- Użytkownik
- Posty: 8691
- Rejestracja: 28 lis 2007, o 18:10
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 36 razy
- Pomógł: 1001 razy
Interpolacja Lagrange'a
Albo zamiast się męczyć od razu wykorzystać wzór na interpolację Lagrange' a:
\(\displaystyle{ W(x)= \sum_{i=0}^{n} y_{i} \frac{ \prod_{j=0 \\ j \neq i}^{n}(x-x_{j}) }{\prod_{j=0 \\ j \neq i}^{n}(x_{i}-x_{j}) }}\)
Gdzie:
\(\displaystyle{ (x_{0},y_{0}),\ (x_{1},y_{1}),\ ... \ (x_{j}, y_{i})}\)
to dane pkt. (tzw. węzły)
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ W(x)= \sum_{i=0}^{n} y_{i} \frac{ \prod_{j=0 \\ j \neq i}^{n}(x-x_{j}) }{\prod_{j=0 \\ j \neq i}^{n}(x_{i}-x_{j}) }}\)
Gdzie:
\(\displaystyle{ (x_{0},y_{0}),\ (x_{1},y_{1}),\ ... \ (x_{j}, y_{i})}\)
to dane pkt. (tzw. węzły)
Pozdrawiam.