Układ równań - Z twierdzenia Kroneckera-Capellego

Przestrzenie wektorowe, bazy, liniowa niezależność, macierze.... Formy kwadratowe, twierdzenia o klasyfikacji...
la012
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 26 lut 2009, o 00:07
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 1 raz

Układ równań - Z twierdzenia Kroneckera-Capellego

Post autor: la012 »

rozwiąż układ równań:

\(\displaystyle{ \{ x_1 + 2x_2 - 4x_3 -x_4=3\\ 3x_1+6x_2+x_3-2x_4=1}\)

r(A)=2=r(Ap)
N-r=4-2=2, czyli układ jest zależny od dwóch parametrów
Przyjmuję:
\(\displaystyle{ \{ x_3=t\\ x_4=p}\)

otrzymuje układ równań:
\(\displaystyle{ \{ x_1 + 2x_2 - 4t -p=3\\ 3x_1+6x_2+t-2p=1}\)

jesli podzielimy drugie równanie przez 3 to otrzymamy układ:

\(\displaystyle{ \{ x_1 + 2x_2 - 4t -p=3\\ x_1+2x_2= (1-t+2p)*({1\over 3})}\)

czyli
3+4t+p=\(\displaystyle{ \1-t+2p\over3}\)
a więc
p=-8-13t

czyli można przyjąć, że:
\(\displaystyle{ \{ x_3=t\\ x_4=-8-12t\\ x_2=k}\)

teraz wystarczy rozwiązań równanie:
\(\displaystyle{ \{ x_1 + 2k = 3 + 4t +(-8-13t)}\)
i otrzymujemy, że:
\(\displaystyle{ \{ x_1 = -9t-2k-5}\)

a więc rozwiązanie układu to:

\(\displaystyle{ \{ x_1 = -9t-2k-5\\ x_2= k\\ x_3=t\\ x_4= -8-13t}\)
k,t przebiegają przez wszystkie liczby rzeczywiste

Czy dobrze rozwiązałem ten układ?
Czy sposób postępowania jest prawidłowy, chodzi mi o moment w którym dowiaduje się, że mam problem z rozwiązaniem układu:
\(\displaystyle{ \{ x_1 + 2x_2 - 4t -p=3\\ 3x_1+6x_2+t-2p=1}\)
Ostatnio zmieniony 26 lut 2009, o 08:30 przez la012, łącznie zmieniany 1 raz.
JankoS
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3101
Rejestracja: 21 lis 2007, o 10:50
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Zarów
Pomógł: 635 razy

Układ równań - Z twierdzenia Kroneckera-Capellego

Post autor: JankoS »

Być może z racji przyzwyczajenia do "Gaussa" ne bardzo "czuję" ten sposb rozwiązania. Ostatecznym kryterium jest poprawność wyniku. Otrzymane pierwiastki spełniają układ, wię wynik jest dobry.
ODPOWIEDZ