1. Proste \(\displaystyle{ y = \frac{1}{2}x}\) oraz \(\displaystyle{ y = - \frac{1}{2}x}\) są asymptotami hiperboli. Napisz równanie hiperboli wiedząc, że P (3,1) leży na tej hiperboli. Oblicz długość cięciwy prostopadłej do asymptoty \(\displaystyle{ y = - \frac{1}{2} x}\) i zawierającej punkt P. Sporządź rysunek i zaznacz na nim ogniska hiperboli.
2. Rozwiąż układ równań:
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x-y+z-2t=2\\3x-2y-z+2t=1\\x-y-2z+4t=-1\end{array}}\)
Czy istnieje rozwiązanie tego układu równań dla których y = t = 1. Jeżeli tak to wyznacz pozostałe niewiadome w tym przykładzie.
3. Zaznacz na płaszczyźnie zespolonej zbiór liczb spełniających warunek:
\(\displaystyle{ \hbox |8z-1(1-i)^{7}| \geqslant 8}\) (Przed osiem ma być wartość bezwzględna przed 8, ale nie umiem zrobić. ;D
Zastosuj wzór de Moivier'a.
4. Wyznacz pierwiastki zespolone wielomianu:
w(x) = \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccccc}1&x&0&0&0\\0&2&x&0&0\\0&0&1&x&0\\0&0&0&2&x\\1&0&0&0&1\end{array}\right]}\)
I rozłóż na czynniki rzeczywiste.