odwrotna macierz 4x4

renatkan · Post autor: **renatkan** » 19 lut 2009, o 17:20

cześć, nie mogę znaleźć jak się tworzy macierz odwrotna dla 4x4? czy mogłby ktoś rozwiązać i pokazać po kolei taką przykładową macierz, będe wdzieczna za pomoc!

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&2&0&1\\0&0&-1&2\\1&0&2&1\\0&0&1&0\end{bmatrix}}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 19 lut 2009, o 17:29

Twierdzenie:

f- operacja wierszowa
Jesli \(\displaystyle{ f(A)=I}\), to \(\displaystyle{ A}\) jest macierzą odwracalną i \(\displaystyle{ f(I)= A^{-1}}\)

\(\displaystyle{ (A | \right| I) \rightarrow ( I | \right| X)}\)

\(\displaystyle{ X= A^{-1}}\)

Tyle teorii

W praktyce sklejasz ze sobą macierz daną z macierzą jednostkową. Wykonujesz operacje wierszowe tak aby z macierzy danej otrzymac macierz jednostkową. Te same operacje wykonujesz na macierzy jednostkowej . Ta przerobiona macierz jednostkowa to Twoja macierz odwrotna.

Dedemonn · Post autor: **Dedemonn** » 19 lut 2009, o 17:30

Taką przykładową macierz mogę pokazać ja:

109509.htm

Spróbuj w ten sam sposób. Jeśli będzie jakiś kłopot - zapraszamy.

renatkan · Post autor: **renatkan** » 19 lut 2009, o 17:40

potrzebuje krok po kroku. najlepiej jakby ktos rozpisal.

Kapol · Post autor: **Kapol** » 19 lut 2009, o 18:18

Macierz odwrotna, to taka macierz która po pomnożeniu przez macierz startową daje macierz \(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right]}\),
zatem tworzymy macierz z samymi niewiadomymi:\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}x _{1} &y _{1}&z _{1}&a _{1}\\x _{2}&y _{2}&z _{2}&a _{2}\\x _{3}&y _{3}&z _{3}&a _{3}\\x _{4}&y _{4}&z _{4}&a _{4}\end{array}\right]}\).

Mnożymy tą macierz ze startową i mamy układ równań:
\(\displaystyle{ x _{1}+2x _{2}+x _{4}=1\\y _{1}+2y _{2}+y _{4}=0\\z _{1}+2z _{2}+z _{4}=0\\a _{1}+2a _{2}+a _{4}=0\\-x _{3}+2x_{4}=0\\-y _{3}+2y_{4}=1\\-z _{3}+2z_{4}=0\\-a _{3}+2a_{4}=0\\x_{1}+2x_{3}+x_{4}=0\\y_{1}+2y_{3}+y_{4}=0\\z_{1}+2z_{3}+z_{4}=1\\a_{1}+2a_{3}+a_{4}=0\\x_{3}=0\\y_{3}=0\\z_{3}=0\\a_{3}=1}\).

Obliczasz i wstawiasz niewiadome do macierzy.

-- 19 lutego 2009, 18:30 --

Jak dobrze obliczyłem. Macierz powinna wyglądać tak:
\(\displaystyle{ A^{1}=\left[\begin{array}{cccc}0&- \frac{1}{2} &1& \frac{5}{2} \\ \frac{1}{2} &0&- \frac{1}{2}&- \frac{3}{2} \\0&0&0&1\\0& \frac{1}{2}&0& \frac{1}{2} \end{array}\right]}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 19 lut 2009, o 18:52

Kapol pisze: \(\displaystyle{ x _{1}+2x _{2}+x _{4}=1\\y _{1}+2y _{2}+y _{4}=0\\z _{1}+2z _{2}+z _{4}=0\\a _{1}+2a _{2}+a _{4}=0\\-x _{3}+2x_{4}=0\\-y _{3}+2y_{4}=1\\-z _{3}+2z_{4}=0\\-a _{3}+2a_{4}=0\\x_{1}+2x_{3}+x_{4}=0\\y_{1}+2y_{3}+y_{4}=0\\z_{1}+2z_{3}+z_{4}=1\\a_{1}+2a_{3}+a_{4}=0\\x_{3}=0\\y_{3}=0\\z_{3}=0\\a_{3}=1}\).

po to ludzie wymyslili macierze aby takich ukladow rownań nie trzeba bylo rozwiazywac.

Kapol · Post autor: **Kapol** » 19 lut 2009, o 19:33

Nie chce komentować, bo się za bardzo nie znam, ale sądzę że do znajdywania macierzy odwrotnych np. 5x5 lub 6x6 ten sposób będzie najszybszy ponieważ nie trzeba kombinować.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 19 lut 2009, o 19:59

Rzeczywiscie mało sie znasz. Spojrz sie na moj , ktory napisalem wczesniej. TO jest najszybsza metoda szukania macierzy odwrotnej.