\(\displaystyle{ 1.}\)Policzyć SUME:
\(\displaystyle{ \frac{1}{\delta} \sum_{k=0}^{6}{6\choose k}=\frac{1}{\delta} \cdot (1+6+15+20+15+6+1)= \frac{64}{\delta}}\)
\(\displaystyle{ 2.}\)Obliczyć liczbę zespoloną i przedstawić ją na płąszczyźnie!
\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-i)^{6}}=\frac{1}{8i}=\frac{i}{-8}}\)
\(\displaystyle{ (1-i)^{6}=1-6i+15i^{2}-20i^{3}+15i^{4}-6i^{5}+i^{6}=1-6i-15+20i+15-5i-1=8i}\)
Liczba \(\displaystyle{ \frac{i}{-8}}\) nie zawiera części rzeczywistej, czyli będzie położona na osi urojonej.
\(\displaystyle{ 3.}\) Dla jakich liczb a nalezy IR jest niesprzeczny?
\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} x+5y=-2\\3x+2y=a\\4x+y=1 \end{array}}\)
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&5&-2\\3&2&a\\4&1&1\end{array}\right]=2-6+20a+16-a-15=19a-3}\)
\(\displaystyle{ 19a-3=0}\)
\(\displaystyle{ a= \frac{3}{19}}\)
Zatem dla \(\displaystyle{ a = \frac{3}{19}}\) układ jest niesprzeczny (bo oznaczony).
\(\displaystyle{ 4.}\)Udowodnij, że dla każdej liczby naturalnej\(\displaystyle{ n \ge 1}\) prawdziwa jest równość:
\(\displaystyle{ \frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{2 \cdot 3}+...+ \frac{1}{n(n+1)}= \frac{n}{n+1}}\)
\(\displaystyle{ 1. Warunek}\)
\(\displaystyle{ n=1}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2}= \frac{1}{1+1}}\)
\(\displaystyle{ L=P}\)
\(\displaystyle{ 2. Warunek}\)
\(\displaystyle{ n \Rightarrow k+1}\)
\(\displaystyle{ Teza: \frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{2 \cdot 3}+...+ \frac{1}{k(k+1)}= \frac{k}{k+1}}\)
\(\displaystyle{ L= \frac{1}{1 \cdot 2} + \frac{1}{2 \cdot 3}+...+ \frac{1}{k(k+1)}+ \frac{1}{(k+1)(k+2)}= \frac{k(k+2)}{(k+1)(k+2)}+ \frac{1}{(k+1)(k+2)}= \frac{k(k+2)+1}{(k+1)(k+2)}= \frac{ k^{2}+2k+1}{ k^{2}+3k+2}}\)
\(\displaystyle{ P= \frac{k+1}{k+2} \cdot \frac{k+1}{k+1}= \frac{ k^{2}+2k+1 }{ k^{2}+3k+2 }}\)
\(\displaystyle{ L=P}\)
\(\displaystyle{ Wniosek:}\) Pierwszy warunek (dla n=1) i drugi warunek zasady indukcji matematycznej są spełnione, zatem możemy stwierdzić, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n równość "\(\displaystyle{ \frac{1}{1 \cdot 2}+ \frac{1}{2 \cdot 3}+...+ \frac{1}{n(n+1)}= \frac{n}{n+1}}\)" jest prawdziwa.
Newton
-
Gacuteek
- Użytkownik
- Posty: 1075
- Rejestracja: 13 mar 2008, o 21:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 5 razy
- Pomógł: 272 razy
Newton
\(\displaystyle{ \frac{1}{ \delta} \sum_{k=0}^{6}{6 \choose k}=\frac{1}{ \delta}( {6 \choose 0}+ {6 \choose 1} + {6 \choose 2}+ {6 \choose 3}+ {6 \choose 4}+ {6 \choose 5}+ {6 \choose 6})}\)