liniowa zależność wektorów

chodzik · Post autor: **chodzik** » 15 lut 2009, o 18:20

Dane są wektory w \(\displaystyle{ R^{4}}\) :
\(\displaystyle{ v_{1} = (0,4,3,3)}\)
\(\displaystyle{ v_{2} = (1,1,1,1)}\)
\(\displaystyle{ v_{3} = (-3,1,0,0)}\)
\(\displaystyle{ v_{4} = (-3,5,3,3)}\)
\(\displaystyle{ v_{5} = (-1,3,2,2)}\)

a) Czy wektory są liniowo zależne ?
b) Ile wynosi \(\displaystyle{ \hbox{dim lin} \{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5\}}\)

Szemek · Post autor: **Szemek** » 15 lut 2009, o 19:20

\(\displaystyle{ \hbox{dim }\mathbb{R}^4=4}\)

Wymiar przestrzeni jest równy 4.
Wartość 4 jest także ilością wektorów liniowo niezależnych stanowiących bazę przestrzeni \(\displaystyle{ \mathbb{R}^4}\)

Jako, że mamy podane 5 wektorów, to są one liniowo zależne.

standardowy sposób sprawdzenia to po prostu to rozwiązanie układu:
\(\displaystyle{ a(0,4,3,3)+b(1,1,1,1)+c(-3,1,0,0)+d(-3,5,3,3)+e(-1,3,2,2)=(0,0,0,0)}\)
jeśli co najmniej jeden współczynnik może być różny od zera to wektory są liniowo zależne,
jeśli wszystkie współczynniki równe 0, to wektory są liniowo niezależne

b) mam wątpliwości, co do mojego rozumowania, ale wydaje mi się że wymiarem takiej przestrzeni będzie rząd macierzy:
\(\displaystyle{ \hbox{dim lin} \{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5 \} = \hbox{rz}\begin{bmatrix}
0 & 4 & 3 & 3 \\
1 & 1 & 1 & 1 \\
-3 & 1 & 0 & 0 \\
-3 & 5 & 3 & 3 \\
-1 & 3 & 2 & 2\end{bmatrix}}\)

chodzik · Post autor: **chodzik** » 16 lut 2009, o 19:48

A jak obliczyć a,b,c,d,e ?

Dedemonn · Post autor: **Dedemonn** » 16 lut 2009, o 19:57

Włącz je do wektorów, przy których stoją (wymnóż po prostu :7 ), następnie dodaj wektory i porównaj stronami. Otrzymasz układ równań, z których wyznaczysz czy jedynym rozwiązaniem jest \(\displaystyle{ a=b=c=d=e=0}\).

chodzik · Post autor: **chodzik** » 19 lut 2009, o 16:56

10a + 4b - 2c + 8d + 6e = 0

Czy dobrze rozumuje ?

Dedemonn · Post autor: **Dedemonn** » 19 lut 2009, o 17:07

No ale co to jest?

Masz sprawdzić rozwiązywalnośc takiego czegoś:

\(\displaystyle{ a(0,4,3,3)+b(1,1,1,1)+c(-3,1,0,0)+d(-3,5,3,3)+e(-1,3,2,2)=(0,0,0,0) \\
(0,4a,3a,3a)+(b,b,b,b)+(-3c,c,0,0)+(-3d,5d,3d,3d)+(-e,3e,2e,2e) = (0,0,0,0) \\
(b-3c-3d-e,4a+b+c+5d+3e,3a+b+3d+2e,3a+b+3d+2e) = (0,0,0,0)}\)

Czyli:

\(\displaystyle{ \begin{cases} b-3c-3d-e = 0 \\ 4a+b+c+5d+3e = 0\\3a+b+3d+2e = 0 \\3a+b+3d+2e = 0 \end{cases}}\)

Pozdrawiam.

chodzik · Post autor: **chodzik** » 20 lut 2009, o 18:14

Teraz gaussem i jak wyjdzie, że a lub b,c,d,e różne od zera to wektory będą liniowo zależne ?

Dedemonn · Post autor: **Dedemonn** » 20 lut 2009, o 21:04

Jeśli "wyjdzie", że którykolwiek ze skalarów jest różny od zera, to wektory są lin. zależne.