Mam takie zadnie "Określić liczbe rozwiązań ukł.równań
\(\displaystyle{ \begin{cases} x + py = 1\\ y - z = 0\\px + z = 1\end{cases}}\)
w zależności od parametru p." za wszelką pomoc z gory dzięki
Określić liczbe rozwiązań ukł.równań
-
Paul_Kirszner
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 11 lut 2009, o 21:32
- Płeć: Mężczyzna
Określić liczbe rozwiązań ukł.równań
Korzystamy z metody wyznaczników.
\(\displaystyle{ W= \left|\begin{array}{ccc}1&p&0 \\ 0&1&-1 \\ p&0&1 \end{array} \right|=1-p^2}\)
\(\displaystyle{ W_x= \left|\begin{array}{ccc}1&p&0 \\ 0&1&-1 \\ 1&0&1 \end{array} \right|=1-p}\)
\(\displaystyle{ W_y= \left|\begin{array}{ccc}1&1&0 \\ 0&0&-1 \\ p&1&1 \end{array} \right|=1-p}\)
\(\displaystyle{ W_z= \left|\begin{array}{ccc}1&p&1 \\ 0&1&0 \\ p&0&1 \end{array} \right|=1-p}\)
Jeśli \(\displaystyle{ W \neq0}\), czyli dla \(\displaystyle{ p \neq 1 \wedge p \neq -1}\) to układ ma jedno rozwiązanie (x,y,z) takie, że
\(\displaystyle{ x= \frac{W_{x}}{W},y= \frac{W_{y}}{W},z= \frac{W_{z}}{W}}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ W=0 \wedge W_{x}=0 \wedge W_{y}=0 \wedge W_{z}=0}\) to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. (tutaj dla p=1)
Jeżeli \(\displaystyle{ W=0}\) i co najmniej jeden z wyznaczników \(\displaystyle{ W_{x}, W_{y}, W_{z}}\) jest różny od zera, to układ nie ma rozwiązań. (tutaj dla p=-1)
\(\displaystyle{ W= \left|\begin{array}{ccc}1&p&0 \\ 0&1&-1 \\ p&0&1 \end{array} \right|=1-p^2}\)
\(\displaystyle{ W_x= \left|\begin{array}{ccc}1&p&0 \\ 0&1&-1 \\ 1&0&1 \end{array} \right|=1-p}\)
\(\displaystyle{ W_y= \left|\begin{array}{ccc}1&1&0 \\ 0&0&-1 \\ p&1&1 \end{array} \right|=1-p}\)
\(\displaystyle{ W_z= \left|\begin{array}{ccc}1&p&1 \\ 0&1&0 \\ p&0&1 \end{array} \right|=1-p}\)
Jeśli \(\displaystyle{ W \neq0}\), czyli dla \(\displaystyle{ p \neq 1 \wedge p \neq -1}\) to układ ma jedno rozwiązanie (x,y,z) takie, że
\(\displaystyle{ x= \frac{W_{x}}{W},y= \frac{W_{y}}{W},z= \frac{W_{z}}{W}}\).
Jeżeli \(\displaystyle{ W=0 \wedge W_{x}=0 \wedge W_{y}=0 \wedge W_{z}=0}\) to układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. (tutaj dla p=1)
Jeżeli \(\displaystyle{ W=0}\) i co najmniej jeden z wyznaczników \(\displaystyle{ W_{x}, W_{y}, W_{z}}\) jest różny od zera, to układ nie ma rozwiązań. (tutaj dla p=-1)
-
Dedemonn
- Użytkownik
- Posty: 689
- Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z kompa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 137 razy
Określić liczbe rozwiązań ukł.równań
Najpierw zapoznaj się z Twierdzeniem Kroneckera-Capelli'ego. Następnie z układem równań powiąż macierze:
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1 & p & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ p & 0 & 1 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ (A|B) = \begin{bmatrix} 1 & p & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 \\ p & 0 & 1 & | & 1 \end{bmatrix}}\)
Teraz chcemy sprawdzić rzędy obu macierzy. Aby sprawdzić rząd macierzy A, wybieramy minor stopnia 3 (jest tylko jeden taki) i sprawdzamy kiedy się zeruje. Dla wartości parametru p, dla których minor się nie zeruje, rząd wynosi 3 (i automatycznie dla tych samych p rząd \(\displaystyle{ A|B}\) też wynosi 3) - na podstawie twierdzenia K-C wiesz kiedy układ ma 1 rozwiązanie.
Aby sprawdzić jak zachowuje się dla pozostałych wartości p (czyli dla tych, dla których minor się zerował), to wstawiamy po kolei do macierzy \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ A|B}\) i liczymy rzędy.
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ A = \begin{bmatrix} 1 & p & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ p & 0 & 1 \end{bmatrix}}\)
\(\displaystyle{ (A|B) = \begin{bmatrix} 1 & p & 0 & | & 1 \\ 0 & 1 & -1 & | & 0 \\ p & 0 & 1 & | & 1 \end{bmatrix}}\)
Teraz chcemy sprawdzić rzędy obu macierzy. Aby sprawdzić rząd macierzy A, wybieramy minor stopnia 3 (jest tylko jeden taki) i sprawdzamy kiedy się zeruje. Dla wartości parametru p, dla których minor się nie zeruje, rząd wynosi 3 (i automatycznie dla tych samych p rząd \(\displaystyle{ A|B}\) też wynosi 3) - na podstawie twierdzenia K-C wiesz kiedy układ ma 1 rozwiązanie.
Aby sprawdzić jak zachowuje się dla pozostałych wartości p (czyli dla tych, dla których minor się zerował), to wstawiamy po kolei do macierzy \(\displaystyle{ A}\) oraz \(\displaystyle{ A|B}\) i liczymy rzędy.
Pozdrawiam.
-
Paul_Kirszner
- Użytkownik
- Posty: 44
- Rejestracja: 11 lut 2009, o 21:32
- Płeć: Mężczyzna