Mam problem z tym zadaniem:
Dane są trzy wektory:
\(\displaystyle{ u= [0, \ 1, \ -2]^T , \ v= [1, \ 1, \ 2]^T , \ w= [-1, \ 0, \ 1]^T \\
\ oraz \ jest \ przekształcenie \ liniowe \ f: \ R^3 \to R^3 \ o \ ktorym \ wiemy, \ ze \\ f(u)=v, \ f(v) = w, \ f(w)=u .}\)
a) czy podana informacja wyznacza jednoznacznie przekształcenie? Jeśli nie, to poniższe punkty wykonaj dla dowolnego przykładu przeształcenia spełniających powyższe warunki.
b) Wyznacz macierz przekształcenia w bazach standardowych.
c) Czy przekształcenie jest epimorfizmem?
d) Czy przekształcenie ma wektor stały, czyli taki, że f(v)=v?
e) Czy przeształcenie ma wektor o okresie 2, czyli taki, że f(f(v))=v i f(v)\(\displaystyle{ \neq}\)v?
Nie wiem jak to zrobić, będę wdzięczna za jakiekolwiek wskazówki i pomoc...(zwłaszcza do podpunktu a), d) i e)).
wektory i przekształcenie liniowe
-
xiikzodz
- Użytkownik
- Posty: 1874
- Rejestracja: 4 paź 2008, o 02:13
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Lost Hope
- Podziękował: 28 razy
- Pomógł: 502 razy
wektory i przekształcenie liniowe
Wektory u,v,w sa niezalezne, co sprawdzasz budujac z nich macierz i ustalajac, ze ta macierz ma wyznacznik niezerowy. Stad odpowiedz na a), bo przeksztalcenie liniowe jest wyznaczone przez wartosci na wektorach bazowych, a trzy wektory niezalezne w przestrzeni 3-wymiarowej stanowia baze. Co wiecej wiemy od razu, ze f jest epimorfizmem, bo jego obrazem jest przestrzen 3-wymiarowa.
To przeksztalcenie, jak zreszta kazde przeksztalcenie liniowe, ma wektor staly, mianowicie zerowy. Zeby ustalic, czy istnieja inne wektory stale, wystarczy sprawdzic, czy 1 jest jedna z wartosci wlasnych przeksztalcenia.
W bazie u,v,w to przeksztalcenie jest permutacja dana macierza:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}\)
ktora nie jest osobliwa, wiec po pierwsze mamy inny argument na to, ze to epimorfizm, a po drugie widzimy, ze wartosci wlasne tego przeksztalcenia to \(\displaystyle{ 1,\varepsilon,\overline\varepsilon}\) gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon=\frac{-1+i\sqrt 3}{2}}\) jest pierwiastkiem pierwotnym stopnia 3 z jedynki. Co dowodzi wspomnianego wczesniej istnienia nietrywialnego wektora stalego oraz dowodzi nieistnienia wektora z punktu e). Z istnienia takiego wektora wynikaloby, ze jedna z wartosci wlasnych macierzy f jest -1.
To przeksztalcenie, jak zreszta kazde przeksztalcenie liniowe, ma wektor staly, mianowicie zerowy. Zeby ustalic, czy istnieja inne wektory stale, wystarczy sprawdzic, czy 1 jest jedna z wartosci wlasnych przeksztalcenia.
W bazie u,v,w to przeksztalcenie jest permutacja dana macierza:
\(\displaystyle{ \begin{pmatrix}0&0&1\\1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}\)
ktora nie jest osobliwa, wiec po pierwsze mamy inny argument na to, ze to epimorfizm, a po drugie widzimy, ze wartosci wlasne tego przeksztalcenia to \(\displaystyle{ 1,\varepsilon,\overline\varepsilon}\) gdzie \(\displaystyle{ \varepsilon=\frac{-1+i\sqrt 3}{2}}\) jest pierwiastkiem pierwotnym stopnia 3 z jedynki. Co dowodzi wspomnianego wczesniej istnienia nietrywialnego wektora stalego oraz dowodzi nieistnienia wektora z punktu e). Z istnienia takiego wektora wynikaloby, ze jedna z wartosci wlasnych macierzy f jest -1.