Mam problem z nastepującym zadaniem:
Dane jest przekształcenie F: \(\displaystyle{ W_{2009} (R) \rightarrow W_{2009}(R)}\) (gdzie \(\displaystyle{ W_{2009} (R)}\) to przestrzeń wielomianów w współczynnikach rzeczywistych stopnia co najwyżej 2009), określone wzorem:
\(\displaystyle{ F(w)(t) \ = \ w(t) \ - \ w(2)t^{2008}}\).
Sprawdź czy przekształcenie jest liniowe, a jeśli tak, to wyznacz rząd, obraz oraz jądro tego przekształcenia.
Nie wiem niestety nawet jak się za to zadanie zabrać. Będę wdzięczna za jakiekolwiek wskazówki i rady.
przekształcenie liniowe - rząd, obraz, jądro
przekształcenie liniowe - rząd, obraz, jądro
Addytywność: \(\displaystyle{ F(w_1+w_2)(t)=(w_1+w_2)(t)+(w_1+w_2)(2)t^{2009}=\ldots=F(w_1)(t)+F(w_2)(t)}\)
Podobnie jednorodność;
Jądro: \(\displaystyle{ w\in\ker F\iff \forall_{t\in \mathbb R}\ F(w)(t)=0\iff \ \forall_{t\in \mathbb R}\ w(t)=w(2)t^{2009}}\)
Podstawiając teraz za \(\displaystyle{ t=2}\) dostaniemy, ze \(\displaystyle{ w(2)=w(2)\cdot 2^{2009}\ \Rightarrow \ w(2)=0}\)
Zatem \(\displaystyle{ \ker F=\{\bold 0\},\ \mbox{im}\, F=W_{2009}(\mathbb R),\ \mbox{rząd} \,F=2010}\)
Podobnie jednorodność;
Jądro: \(\displaystyle{ w\in\ker F\iff \forall_{t\in \mathbb R}\ F(w)(t)=0\iff \ \forall_{t\in \mathbb R}\ w(t)=w(2)t^{2009}}\)
Podstawiając teraz za \(\displaystyle{ t=2}\) dostaniemy, ze \(\displaystyle{ w(2)=w(2)\cdot 2^{2009}\ \Rightarrow \ w(2)=0}\)
Zatem \(\displaystyle{ \ker F=\{\bold 0\},\ \mbox{im}\, F=W_{2009}(\mathbb R),\ \mbox{rząd} \,F=2010}\)