wyznaczyc wektory

[anapolon3]

zadanie 4
Wykazac ze wektory e1=(1,1,1) e2=(1,1,0) e3=(0,1,1) tworza baze przestrzeni \(\displaystyle{ r ^{} 3}\)

(liniowa niezaleznosc e1 e2 e3 wykazac z definicji a nastepnie pokazac ze kazdy wektor z \(\displaystyle{ r ^{} 3}\) można przedstawic jako kombinacje liniowa e1 , e2 , e3

moze ktos sprawdzic to zadannie bo mi sie cos nie zgadza


\(\displaystyle{ e_1(1,1,1), \; e_2(1,1,0), \; e_3(0,1,1)}\)
sprawdzam czy są liniowo niezależne:
liczę wyznacznik - jeśli różny od zera - liniowo niezależne
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = kolumna2 - kolumna3 = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = wiersz1 - wiersz3 = \\ = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = wiersz2 - wiersz1 = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1}\)
czy generują przestrzeń:
\(\displaystyle{ (x,y,z)=a(1,1,1)+b(1,1,0)+c(0,1,1) \\
\begin{cases} x=a+b \\ y=a+b+c \\ z=a+c \end{cases} \\
wiersz2 - (wiersz1+wiersz3) \\
\begin{cases} x=a+b \\ y-x-z=-a \\ z=a+c \end{cases} \\
\begin{cases} a=x-y+z \\ b=y-z \\ c=-x+y \end{cases}}\)
czyli:
\(\displaystyle{ (x,y,z) = (x-y+z)(1,1,1)+(y-z)(1,1,0)+(-x+y)(0,1,1)}\)
a więc każdy wektor z przestrzeni \(\displaystyle{ R^3}\) jest generowany przez tę trójkę wektorów-- 13 lut 2009, o 21:06 --\(\displaystyle{ e_1(1,1,1), \; e_2(1,1,0), \; e_3(0,1,1)}\)
sprawdzam czy są liniowo niezależne:
liczę wyznacznik - jeśli różny od zera - liniowo niezależne
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = kolumna2 - kolumna3 = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = wiersz1 - wiersz3 = \\ = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = wiersz2 - wiersz1 = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 1}\)
czy generują przestrzeń:

czemu to jest tak zapisane
myslelem ze powinno byc tak

1 1 0
1 1 1
1 0 1

[JankoS]

czemu to jest tak zapisane

Wszystko jest dobrze.
Wątpliwości nie rozumiem - co "jest tak zapisane". Chyba chodzi o to, jakie są wktory wierszowe czy kolumnowe. Akurat w tym zadaniu nie odgrtwa to roli.

[anapolon3]

teraz juz o tym wiem