Czy zbiory są podprzestrzeniami odpowiednich przestrzeni?

[Kajakov]

Sprawdzić czy zbiory są podprzestrzeniami odpowiednich przestrzeni \(\displaystyle{ R ^{n}}\)

a) \(\displaystyle{ A=\{(x,y) \in R ^{2} :xy \ge 0\}, R ^{2}}\)
b) \(\displaystyle{ B=\{(x,y,z) \in R ^{3} :x+y-z=0\}, R ^{3}}\)

Prosiłbym o wyjaśnienie w jaki sposób to należy rozwiązać, bo mam z tym problem. Z góry dziękuję za pomoc.

[Viathor]

Sprawdzamy dwa warunki:


\(\displaystyle{ 1.\bigwedge\limits_{x_1,x_2;y_1,y_2\in A} x_1,y_1+x_2,y_2 \in A \\
\\
\\
2. \bigwedge\limits_{\alpha \in R} \alpha xy \in A}\)

W punkcie a, jeżeli dodamy do siebie dwa dodatnie iloczyny to uzyskamy także dodatni iloczyn (bądź równy zeru), natomiast jeżeli \(\displaystyle{ xy}\) wymnożymy przez ujemną \(\displaystyle{ \alpha}\) to drugi warunek nie zostanie spełniony. Np.
\(\displaystyle{ x=1\\
y=2\\
\alpha=-5\\}\)

wyrażenie będzie mniejsze od zera, więc nie należy do zbioru A

b)
1.
\(\displaystyle{ x_1+x_2+y_1+y_2-z_1-z_2=0\\
(x_1+y_1+z_1)+(x_2+y_2-z_2)=0\\
0+0=0}\)

2.

\(\displaystyle{ \alpha x+\alpha y -\alpha z=0\\
\alpha(x+y-z)=0\\
\alpha \cdot 0=0}\)

Obydwa warunki spełnione
Odp B jest podprzestrzenią