Oblicz wyznacznik

[Dedemonn]

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} a_1 & x & x & \dots & x \\ x & a_2 & x & \dots & x \\ x & x & a_3 & \dots & x \\ \dots & \dots & \dots & \dots\ & \dots \\ x & x & x & \dots & a_n \end{vmatrix}}\)

\(\displaystyle{ x \neq 0 \\ x \neq a_i \ \ \forall_i}\)

Pozdrawiam.

[miodzio1988]

celem naszym bedzie sprowadzenie tej macierzy do postaci macierzy trojkątnej gornej.(wyznacznik takiej macierzy to iloczyn wyrazow stojących na przekątnej).
pierwszy krok:
dzielimy pierwszy wiersz przez \(\displaystyle{ a_{1}}\).
dzieki jedynce ktora w ten sposob powstala zerujemy wszystkie wyrazy (oprocz pierwszego , ktory jest jedynką) w pierwszej kolumnie.
procedure powtarzamy az otrzymamy macierz trojkątną gorną.

mozna tez skorzystac z rozwiniecia Laplace'a(nawet moze sie okazac to latwiejszym sposobem:P). Widzialem ze stukasz mase zadan z macierzy na tym forum ,wiec bez problemu powinienes sobie teraz poradzic;]
pozdrawiam;]

[Szemek]

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} a_1 & x \\ x & a_2 \end{vmatrix} = a_1a_2 - x^2}\)
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} a_1 & x & x \\ x & a_2 & x \\ x & x & a_3 \end{vmatrix} = a_1a_2a_3 - (a_1 + a_2 + a_3)x^2 + 2x^3}\)
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} a_1 & x & x & x \\ x & a_2 & x & x \\ x & x & a_3 & x \\ x & x & x & a_4 \end{vmatrix} = a_1a_2a_3a_4 - (a_1a_2 + a_1a_3 + a_1a_4 + a_2a_3 + a_2a_4 + a_3a_4)x^2 + 2(a_1a_2a_3 + a_1a_2a_4 + a_1a_3a_4 + a_2a_3a_4)x^3 - 3x^4}\)
myślę, że nietrudno dostrzec sposób powstawania kolejnych wartości wyznaczników macierzy o większych wymiarach

[Dedemonn]

dzieki jedynce ktora w ten sposob powstala zerujemy wszystkie wyrazy (oprocz pierwszego , ktory jest jedynką) w pierwszej kolumnie.

Hum, coś nie mogę zobaczyć tego kroku.. W jaki sposób jedynką wyzerujesz x'y w pierwszej kolumnie?..

myślę, że nietrudno dostrzec sposób powstawania kolejnych wartości wyznaczników macierzy o większych wymiarach

Owszem, coś tam można zauważyć, lecz mimo to nie potrafiłbym tego zapisać wzorem. A nawet jeśli, to myślę, że wtedy taki wzór należałoby jeszcze udowodnić.


Wyznacznika wciąż nie obliczyłem.

Pozdrawiam.

[Szemek]

miodzio1988, nie możemy dzielić przez wyraz znajdujący się na głównej przekątnej, bo on może być równy zero

\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} a_1 & x & x & \dots & x \\ x & a_2 & x & \dots & x \\ x & x & a_3 & \dots & x \\ \dots & \dots & \dots & \dots\ & \dots \\ x & x & x & \dots & a_n \end{vmatrix}}\)
od każdej kolumny w zakresie [2,n] odejmujemy kolumnę pierwszą
otrzymujemy macierz
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
a_1 & x - a_1 & x - a_1 & x - a_1 & \dots & x - a_1 \\
x & a_2 - x & 0 & 0 & \dots & 0 \\
x & 0 & a_3 - x & 0 & \dots & 0 \\
x & 0 & 0 & a_4 - x & \dots & 0 \\
\dots & \dots & \dots & \dots\ & \dots \\
x & 0 & 0 & 0 & \dots & a_n - x \end{vmatrix}}\)
rozwijam z Laplace'a względem pierwszej kolumny:
\(\displaystyle{ a_1 \cdot \begin{vmatrix}
a_2 - x & 0 & 0 & \dots & 0 \\
0 & a_3 - x & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & a_4 - x & \dots & 0 \\
& \dots & \dots & \dots\ & \dots & \dots \\
0 & 0 & 0 & \dots & a_n - x \end{vmatrix}
- x \cdot \begin{vmatrix}
x - a_1 & x - a_1 & x - a_1 & \dots & x - a_1 \\
0 & a_3 - x & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & a_4 - x & \dots & 0 \\
\dots & \dots & \dots\ & \dots & \dots \\
0 & 0 & 0 & \dots & a_n - x \end{vmatrix}
+ \\ + x \cdot \begin{vmatrix}
x - a_1 & x - a_1 & x - a_1 & \dots & x - a_1 \\
a_2 - x & 0 & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & a_4 - x & \dots & 0 \\
\dots & \dots & \dots\ & \dots & \dots \\
0 & 0 & 0 & \dots & a_n - x \end{vmatrix} - \dots}\)

Dla macierzy trójkątnej wyznacznik to iloczyn wyrazów na głównej przekątnej.
Od trzeciego wyznacznika trzeba przestawiać kolumny, aby uzyskać macierz trójkątną.
Pamiętaj, że przestawienie kolumn zmienia wyznacznik na przeciwny.
Możesz jeszcze -1 wyłączyć przed wyznacznik dla macierzy który pierwszy wiersz mają wypełniony wyrazami \(\displaystyle{ a_1 - x}\)

Mam nadzieję, że te sugestie pomogą.

[Dedemonn]

Dzięki! Właśnie do takiej postaci sprowadziłem ten wyznacznik, lecz nie przypuszczałem, że można użyć tu Laplacka - za wszelką cenę chciałem go sprowadzić do macierzy trójkątnej. ;/


Pozdrawiam.

[Frey]

Właśnie mam podobny problem. Szemek bardzo ładnie pokazałeś, naprawdę metoda wydaje się samobójcza ale jest skuteczna.

trzeba niestety potem przestawiać kolumny trochę, ale to są da wyliczyć będzie jakiś (-1) to którejś.

mam jedno pytanie, czym i po co redukujesz pierwszy wiersz. Czemu nie zostawić go w spokoju tzn :\(\displaystyle{ a_1,x,x,x,x,....,x}\) o tak.

Po za tym super

[Szemek]

mam jedno pytanie, czym i po co redukujesz pierwszy wiersz. Czemu nie zostawić go w spokoju tzn :\(\displaystyle{ a_1,x,x,x,x,....,x}\) o tak.

Nie bardzo rozumiem,
przecież napisałem, że od każdej kolumny w zakresie [2,n] odejmujemy kolumnę pierwszą

[Frey]

sorry, ja sobie to na wierszach wyobraziłem, spoko zgadza się