Oblicz wyznacznik
- Dedemonn
- Użytkownik
- Posty: 689
- Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z kompa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 137 razy
Oblicz wyznacznik
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} a_1 & x & x & \dots & x \\ x & a_2 & x & \dots & x \\ x & x & a_3 & \dots & x \\ \dots & \dots & \dots & \dots\ & \dots \\ x & x & x & \dots & a_n \end{vmatrix}}\)
\(\displaystyle{ x \neq 0 \\ x \neq a_i \ \ \forall_i}\)
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ x \neq 0 \\ x \neq a_i \ \ \forall_i}\)
Pozdrawiam.
Oblicz wyznacznik
celem naszym bedzie sprowadzenie tej macierzy do postaci macierzy trojkątnej gornej.(wyznacznik takiej macierzy to iloczyn wyrazow stojących na przekątnej).
pierwszy krok:
dzielimy pierwszy wiersz przez \(\displaystyle{ a_{1}}\).
dzieki jedynce ktora w ten sposob powstala zerujemy wszystkie wyrazy (oprocz pierwszego , ktory jest jedynką) w pierwszej kolumnie.
procedure powtarzamy az otrzymamy macierz trojkątną gorną.
mozna tez skorzystac z rozwiniecia Laplace'a(nawet moze sie okazac to latwiejszym sposobem:P). Widzialem ze stukasz mase zadan z macierzy na tym forum ,wiec bez problemu powinienes sobie teraz poradzic;]
pozdrawiam;]
pierwszy krok:
dzielimy pierwszy wiersz przez \(\displaystyle{ a_{1}}\).
dzieki jedynce ktora w ten sposob powstala zerujemy wszystkie wyrazy (oprocz pierwszego , ktory jest jedynką) w pierwszej kolumnie.
procedure powtarzamy az otrzymamy macierz trojkątną gorną.
mozna tez skorzystac z rozwiniecia Laplace'a(nawet moze sie okazac to latwiejszym sposobem:P). Widzialem ze stukasz mase zadan z macierzy na tym forum ,wiec bez problemu powinienes sobie teraz poradzic;]
pozdrawiam;]
- Szemek
- Użytkownik
- Posty: 4819
- Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 1407 razy
Oblicz wyznacznik
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} a_1 & x \\ x & a_2 \end{vmatrix} = a_1a_2 - x^2}\)
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} a_1 & x & x \\ x & a_2 & x \\ x & x & a_3 \end{vmatrix} = a_1a_2a_3 - (a_1 + a_2 + a_3)x^2 + 2x^3}\)
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} a_1 & x & x & x \\ x & a_2 & x & x \\ x & x & a_3 & x \\ x & x & x & a_4 \end{vmatrix} = a_1a_2a_3a_4 - (a_1a_2 + a_1a_3 + a_1a_4 + a_2a_3 + a_2a_4 + a_3a_4)x^2 + 2(a_1a_2a_3 + a_1a_2a_4 + a_1a_3a_4 + a_2a_3a_4)x^3 - 3x^4}\)
myślę, że nietrudno dostrzec sposób powstawania kolejnych wartości wyznaczników macierzy o większych wymiarach
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} a_1 & x & x \\ x & a_2 & x \\ x & x & a_3 \end{vmatrix} = a_1a_2a_3 - (a_1 + a_2 + a_3)x^2 + 2x^3}\)
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} a_1 & x & x & x \\ x & a_2 & x & x \\ x & x & a_3 & x \\ x & x & x & a_4 \end{vmatrix} = a_1a_2a_3a_4 - (a_1a_2 + a_1a_3 + a_1a_4 + a_2a_3 + a_2a_4 + a_3a_4)x^2 + 2(a_1a_2a_3 + a_1a_2a_4 + a_1a_3a_4 + a_2a_3a_4)x^3 - 3x^4}\)
myślę, że nietrudno dostrzec sposób powstawania kolejnych wartości wyznaczników macierzy o większych wymiarach
- Dedemonn
- Użytkownik
- Posty: 689
- Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z kompa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 137 razy
Oblicz wyznacznik
Hum, coś nie mogę zobaczyć tego kroku.. W jaki sposób jedynką wyzerujesz x'y w pierwszej kolumnie?..miodzio1988 pisze:dzieki jedynce ktora w ten sposob powstala zerujemy wszystkie wyrazy (oprocz pierwszego , ktory jest jedynką) w pierwszej kolumnie.
Owszem, coś tam można zauważyć, lecz mimo to nie potrafiłbym tego zapisać wzorem. A nawet jeśli, to myślę, że wtedy taki wzór należałoby jeszcze udowodnić.Szemek pisze:myślę, że nietrudno dostrzec sposób powstawania kolejnych wartości wyznaczników macierzy o większych wymiarach
Wyznacznika wciąż nie obliczyłem.
Pozdrawiam.
- Szemek
- Użytkownik
- Posty: 4819
- Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 1407 razy
Oblicz wyznacznik
miodzio1988, nie możemy dzielić przez wyraz znajdujący się na głównej przekątnej, bo on może być równy zero
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} a_1 & x & x & \dots & x \\ x & a_2 & x & \dots & x \\ x & x & a_3 & \dots & x \\ \dots & \dots & \dots & \dots\ & \dots \\ x & x & x & \dots & a_n \end{vmatrix}}\)
od każdej kolumny w zakresie [2,n] odejmujemy kolumnę pierwszą
otrzymujemy macierz
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
a_1 & x - a_1 & x - a_1 & x - a_1 & \dots & x - a_1 \\
x & a_2 - x & 0 & 0 & \dots & 0 \\
x & 0 & a_3 - x & 0 & \dots & 0 \\
x & 0 & 0 & a_4 - x & \dots & 0 \\
\dots & \dots & \dots & \dots\ & \dots \\
x & 0 & 0 & 0 & \dots & a_n - x \end{vmatrix}}\)
rozwijam z Laplace'a względem pierwszej kolumny:
\(\displaystyle{ a_1 \cdot \begin{vmatrix}
a_2 - x & 0 & 0 & \dots & 0 \\
0 & a_3 - x & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & a_4 - x & \dots & 0 \\
& \dots & \dots & \dots\ & \dots & \dots \\
0 & 0 & 0 & \dots & a_n - x \end{vmatrix}
- x \cdot \begin{vmatrix}
x - a_1 & x - a_1 & x - a_1 & \dots & x - a_1 \\
0 & a_3 - x & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & a_4 - x & \dots & 0 \\
\dots & \dots & \dots\ & \dots & \dots \\
0 & 0 & 0 & \dots & a_n - x \end{vmatrix}
+ \\ + x \cdot \begin{vmatrix}
x - a_1 & x - a_1 & x - a_1 & \dots & x - a_1 \\
a_2 - x & 0 & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & a_4 - x & \dots & 0 \\
\dots & \dots & \dots\ & \dots & \dots \\
0 & 0 & 0 & \dots & a_n - x \end{vmatrix} - \dots}\)
Dla macierzy trójkątnej wyznacznik to iloczyn wyrazów na głównej przekątnej.
Od trzeciego wyznacznika trzeba przestawiać kolumny, aby uzyskać macierz trójkątną.
Pamiętaj, że przestawienie kolumn zmienia wyznacznik na przeciwny.
Możesz jeszcze -1 wyłączyć przed wyznacznik dla macierzy który pierwszy wiersz mają wypełniony wyrazami \(\displaystyle{ a_1 - x}\)
Mam nadzieję, że te sugestie pomogą.
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} a_1 & x & x & \dots & x \\ x & a_2 & x & \dots & x \\ x & x & a_3 & \dots & x \\ \dots & \dots & \dots & \dots\ & \dots \\ x & x & x & \dots & a_n \end{vmatrix}}\)
od każdej kolumny w zakresie [2,n] odejmujemy kolumnę pierwszą
otrzymujemy macierz
\(\displaystyle{ \begin{vmatrix}
a_1 & x - a_1 & x - a_1 & x - a_1 & \dots & x - a_1 \\
x & a_2 - x & 0 & 0 & \dots & 0 \\
x & 0 & a_3 - x & 0 & \dots & 0 \\
x & 0 & 0 & a_4 - x & \dots & 0 \\
\dots & \dots & \dots & \dots\ & \dots \\
x & 0 & 0 & 0 & \dots & a_n - x \end{vmatrix}}\)
rozwijam z Laplace'a względem pierwszej kolumny:
\(\displaystyle{ a_1 \cdot \begin{vmatrix}
a_2 - x & 0 & 0 & \dots & 0 \\
0 & a_3 - x & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & a_4 - x & \dots & 0 \\
& \dots & \dots & \dots\ & \dots & \dots \\
0 & 0 & 0 & \dots & a_n - x \end{vmatrix}
- x \cdot \begin{vmatrix}
x - a_1 & x - a_1 & x - a_1 & \dots & x - a_1 \\
0 & a_3 - x & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & a_4 - x & \dots & 0 \\
\dots & \dots & \dots\ & \dots & \dots \\
0 & 0 & 0 & \dots & a_n - x \end{vmatrix}
+ \\ + x \cdot \begin{vmatrix}
x - a_1 & x - a_1 & x - a_1 & \dots & x - a_1 \\
a_2 - x & 0 & 0 & \dots & 0 \\
0 & 0 & a_4 - x & \dots & 0 \\
\dots & \dots & \dots\ & \dots & \dots \\
0 & 0 & 0 & \dots & a_n - x \end{vmatrix} - \dots}\)
Dla macierzy trójkątnej wyznacznik to iloczyn wyrazów na głównej przekątnej.
Od trzeciego wyznacznika trzeba przestawiać kolumny, aby uzyskać macierz trójkątną.
Pamiętaj, że przestawienie kolumn zmienia wyznacznik na przeciwny.
Możesz jeszcze -1 wyłączyć przed wyznacznik dla macierzy który pierwszy wiersz mają wypełniony wyrazami \(\displaystyle{ a_1 - x}\)
Mam nadzieję, że te sugestie pomogą.
- Dedemonn
- Użytkownik
- Posty: 689
- Rejestracja: 21 lut 2007, o 19:40
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Z kompa
- Podziękował: 26 razy
- Pomógł: 137 razy
Oblicz wyznacznik
Dzięki! Właśnie do takiej postaci sprowadziłem ten wyznacznik, lecz nie przypuszczałem, że można użyć tu Laplacka - za wszelką cenę chciałem go sprowadzić do macierzy trójkątnej. ;/
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.
- Frey
- Użytkownik
- Posty: 3299
- Rejestracja: 11 paź 2008, o 18:09
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Skierniewice
- Podziękował: 48 razy
- Pomógł: 243 razy
Oblicz wyznacznik
Właśnie mam podobny problem. Szemek bardzo ładnie pokazałeś, naprawdę metoda wydaje się samobójcza ale jest skuteczna.
trzeba niestety potem przestawiać kolumny trochę, ale to są da wyliczyć będzie jakiś (-1) to którejś.
mam jedno pytanie, czym i po co redukujesz pierwszy wiersz. Czemu nie zostawić go w spokoju tzn :\(\displaystyle{ a_1,x,x,x,x,....,x}\) o tak.
Po za tym super
trzeba niestety potem przestawiać kolumny trochę, ale to są da wyliczyć będzie jakiś (-1) to którejś.
mam jedno pytanie, czym i po co redukujesz pierwszy wiersz. Czemu nie zostawić go w spokoju tzn :\(\displaystyle{ a_1,x,x,x,x,....,x}\) o tak.
Po za tym super
- Szemek
- Użytkownik
- Posty: 4819
- Rejestracja: 10 paź 2006, o 23:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Gdańsk
- Podziękował: 43 razy
- Pomógł: 1407 razy
Oblicz wyznacznik
Nie bardzo rozumiem,Frey pisze:mam jedno pytanie, czym i po co redukujesz pierwszy wiersz. Czemu nie zostawić go w spokoju tzn :\(\displaystyle{ a_1,x,x,x,x,....,x}\) o tak.
przecież napisałem, że od każdej kolumny w zakresie [2,n] odejmujemy kolumnę pierwszą