Wyznacznik 5x5

pietrucha18 · Post autor: **pietrucha18** » 9 lut 2009, o 21:00

Witam muszę wyznaczyć wyznacznik macierzy kwadratowej 5 stopnia.
\(\displaystyle{ \left| \begin{array}{ccccc}2&5&3&2&-4 \\3&2&2&-3&-2 \\2&5&0&2&3 \\2&3&-3&4&-2 \\4&4&5&-2&3 \end{array} \right|}\)
Robie tan odejmuje 1 wiersz od 3.
i co dalej
Prosił bym o wytłumaczenie przeliczeń.
Pozdrawiam

soku11 · Post autor: **soku11** » 9 lut 2009, o 21:39

Dzialania:
1. \(\displaystyle{ c_2-c_3}\)
2. \(\displaystyle{ c_5+c_3}\)
3. \(\displaystyle{ w_1+w_4}\)
4. \(\displaystyle{ w_4+2w_5}\)
5. \(\displaystyle{ c_5+c_4}\)
6. \(\displaystyle{ w_5-w_1}\)

Da nam to (jesli sie nie pomylilem) wyznacznik postaci:
\(\displaystyle{ W=\left| \begin{array}{ccccc}
4 & 8 & 0 & 6 & -6\\
3 & 0 & 2 & -3 & 0\\
2 & 5 & 0 & 2 & 3\\
10 & 4 & 7 & 0 & 11\\
0 & -9 & 5 & -8 & 14
\end{array}\right|}\)

Teraz zamieniamy dwa wiersze zmieniajac znak wyznacznika:
\(\displaystyle{ w_1\; \leftrightarrow\; w_5\\
-W=
\left| \begin{array}{ccccc}
0 & -9 & 5 & -8 & 14\\
3 & 0 & 2 & -3 & 0\\
2 & 5 & 0 & 2 & 3\\
10 & 4 & 7 & 0 & 11\\
4 & 8 & 0 & 6 & -6\\
\end{array}\right|}\)

No i dalej wiadomo juz chyba ocb

Pozdrawiam.

pietrucha18 · Post autor: **pietrucha18** » 9 lut 2009, o 21:48

No niestety tej metody nie znam (podaj mi nazwę a się douczę).

soku11 · Post autor: **soku11** » 9 lut 2009, o 22:02

Ktorej metody nie znasz?? Bo to sa elementarne przeksztalcenia na wierszach i kolumnach

Pozdrawiam.

pietrucha18 · Post autor: **pietrucha18** » 9 lut 2009, o 22:07

Opss chodzi mi na metodę na dalsze obliczenie wyznacznika ,gdy mam zera po przekątnej i jakoś liczbę.

Szemek · Post autor: **Szemek** » 9 lut 2009, o 22:45

osobiście doprowadziłbym gdzie w 1. kolumnie mam jedynkę i 4 zera
\(\displaystyle{ w_2-w_1 \\
w_3-w_1 \\
w_4-w_1 \\
w_5-2w_1 \\
w_1-2w_2}\)
z rozwinięcia Laplace'a jest już do policzenia wyznacznik z macierzy 4x4
\(\displaystyle{ ... = \begin{vmatrix}
0 & 11 & 5 & 12 & -8 \\
1 & -3 & -1 & -5 & 2 \\
0 & 0 & -3 & 0 & 7 \\
0 & -2 & -6 & 2 & 2 \\
0 & -6 & -1 & -6 & 11 \end{vmatrix} = -
\begin{vmatrix}
11 & 5 & 12 & -8 \\
0 & -3 & 0 & 7 \\
-2 & -6 & 2 & 2 \\
-6 & -1 & -6 & 11 \end{vmatrix} = ...}\)

\(\displaystyle{ 7k_2 + 3k_4}\)

\(\displaystyle{ ... = -\frac{1}{7} \cdot \begin{vmatrix}
11 & 11 & 12 & -8 \\
0 & 0 & 0 & 7 \\
-2 & -36 & 2 & 2 \\
-6 & 26 & -6 & 11 \end{vmatrix} = -\frac{1}{7} \cdot 7 \cdot (-1)^{2+4} \begin{vmatrix}
11 & 11 & 12 \\
-2 & -36 & 2 \\
-6 & 26 & -6 \end{vmatrix} = - \begin{vmatrix}
11 & 11 & 12 \\
-2 & -36 & 2 \\
-6 & 26 & -6 \end{vmatrix} = ...}\)

\(\displaystyle{ k_2 - k_1 \\
k_3 - k_1}\)
\(\displaystyle{ ... = - \begin{vmatrix}
11 & 0 & 1 \\
-2 & -34 & 4 \\
-6 & 32 & 0 \end{vmatrix} = ...}\)
\(\displaystyle{ k_1 - 11k_3}\)
\(\displaystyle{ \left{ ... = - \begin{vmatrix}
0 & 0 & 1 \\
-46 & -34 & 4 \\
-6 & 32 & 0 \end{vmatrix} = -1 \cdot (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} -46 & -34 \\ -6 & 32 \end{vmatrix} = -[-46 \cdot 32 - (-34) \cdot (-6)] = 1676 \right}}\)

soku11 · Post autor: **soku11** » 9 lut 2009, o 22:47

Jednak tak nic nam nie da :/
Trzeba zrobic jak najwiecej zer w kolumnie lub wierszu. Jak slusznie zauwazyles najlepiej bedzie pokombinowac z wierszem 1 i 3. Tak wiec od wiersza pierwszego odejmujemy trzeci. Nastepnie do kolumny trzeciej dodajemy \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) kolumny 5. Daje nam to macierz:
\(\displaystyle{ \left|\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & 0 & 0 & -2\\
3 & 2 & -1 & -3 & -2\\
2 & 5 & \frac{9}{2} & 2 & 3\\
2 & 3 & -6 & 4 & -2\\
4 & 4 & \frac{19}{2} & -2 & 3
\end{array}\right|}\)

Teraz rozwijamy wzgledem pierwszego wiersza (ta metoda to rozwiniecie Laplace'a - pogoogluj).
Nasz wyznacznik teraz skraca sie do:
\(\displaystyle{ W=-2
\left|\begin{array}{cccc}
3 & 2 & -1 & -3\\
2 & 5 & \frac{9}{2} & 2\\
2 & 3 & -6 & 4\\
4 & 4 & \frac{19}{2} & -2
\end{array}\right|}\)

No i dalej trzeba uzyskac troche zer i znow wyznacznik. I tak az do uzyskania najlepiej 3x3 lub ewentualnie kilku 2x2. Pozdrawiam.

pietrucha18 · Post autor: **pietrucha18** » 9 lut 2009, o 22:55

Ok już wiem jak to się robi ,wiec sadze ze temat do zamknięcia .Potrenuje na zadaniach, i sadze ze jutro mój sor nic trudniejszego nie wymyśli kazał nam to zrobić w 15 min. (macierze 4X4 , umie robić , a z 5x5 nigdy nie miałem styczności ). Wszystkim bardzo dziękuje za pomoc .