baza i wymiar

fanch · Post autor: **fanch** » 9 lut 2009, o 18:58

wyznacz bazę i wymiar podprzestrzeni W przestrzeni R[x] rozpiętej przez wektory:

\(\displaystyle{ w_{1}=1-x-x^2}\)
\(\displaystyle{ w_{2}=1+x}\)
\(\displaystyle{ w_{3}=x-x^2+x^3}\)
\(\displaystyle{ w_{4}=x^2-x^3+1}\)
\(\displaystyle{ w_{5}=-x+x^3}\)

na moje oko wymiar to 4, bo w2 to kombinacja liniowa w3 i w4, ale nie jestem pewien czy to jedyna kombinacja.

kuch2r · Post autor: **kuch2r** » 11 lut 2009, o 11:59

Zawsze, może utożsamić nasze wektory, poprzez zapis czwórek i tak
\(\displaystyle{ w_1\iff (1,-1,1,0)\\
w_2\iff (1,1,0,0)\\
w_3\iff (0,1,-1,1)\\
w_4\iff (1,0,1,-1)\\
w_5\iff (0,-1,0,1)}\)
Dalej zapisz powyższe wektory w postaci macierzy i policz rząd macierzy

fanch · Post autor: **fanch** » 11 lut 2009, o 13:58

czyli wychodzi na to ze dobrze zrobiłem , bo rząd wyszedł mi 4, dzięki.

Dedemonn · Post autor: **Dedemonn** » 15 lut 2009, o 15:02

Podbijam temat z prośbą o klarowne wyznaczenie bazy tej przestrzeni.

Dziękuję.

-- 15 lutego 2009, 19:24 --

Szukałem i szukałem i mam nadzieję, że się doszukałem. Proszę chociaż o odpowiedź twierdzącą, bądź przeczącą odnośnie poniższego:

Wymiar przestrzeni W to ilość wektorów liniowo niezależnych w tym zbiorze, czyli rząd macierzy, której wierszami są wyżej zapisane wektory (i \(\displaystyle{ w_1}\) z błędem ;d). Zatem \(\displaystyle{ dimV = 4}\).

Aby znaleźć bazę tej przestrzeni szukamy takich czterech wektorów z V, dla których rząd macierzy utworzonej z tych wektorów jest równy 4 (czyli te wektory są liniowo niezależne). A skoro są liniowo niezależne, to rozpinają one przestrzeń V i są jej bazą.

Zatem bazą jest np. zbiór

\(\displaystyle{ \mathematical{B} = \{1-x-x^2, 1+x, -x+x^3, x-x^2+x^3\}}\)

Dobrze/źle?

Pozdrawiam.

fanch · Post autor: **fanch** » 15 lut 2009, o 20:32

bazę masz źle. skoro juz ustaliliśmy że wymiar to 4, tzn ze wektory mają 4 współrzędne.
mając macierz ułożoną z tych wektorów, możemy ją doprowadzić do jak najprostszej postaci , czyli mniej więcej takiej :

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cccc}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{array}\right]}\)

stąd baza to: \(\displaystyle{ B=\lbrace(x^3,0,0,0),(0,x^2,0,0),(0,0,x,0),(0,0,0,1)\rbrace}\)

Dedemonn · Post autor: **Dedemonn** » 15 lut 2009, o 21:11

Nie widzę tego .

Mamy te 4 wektory lin. niezależne (co niby miały być bazą):

( wektory w postaci \(\displaystyle{ (1,x,x^2,x^3)}\) )

\(\displaystyle{ w_1 = (1,-1,-1,0) \\
w_2 = (1,1,0,0) \\
w_3 = (0,1,-1,1) \\
w_5 = (0,-1,0,1)}\)

I czy z nimi coś robimy? Czy przekształcamy macierz główną złożoną z wszystkich pięciu wektorów?

Szemek · Post autor: **Szemek** » 15 lut 2009, o 21:22

fanch,
znamy wymiar przestrzeni równy 4,
bazę tej przestrzeni będzie stanowić 4 liniowo niezależne wektory

baza nie musi być kanoniczna

Dedemonn · Post autor: **Dedemonn** » 15 lut 2009, o 21:33

Znaczy mam się cieszyć, bo dobrze? ;o

Pozdrawiam.

fanch · Post autor: **fanch** » 15 lut 2009, o 21:53

czyli w końcu jak ta baza ma wyglądać ?

Szemek · Post autor: **Szemek** » 15 lut 2009, o 23:04

jak dla mnie jedna i druga baza są dobre

Jeśli znamy wymiar przestrzeni \(\displaystyle{ \hbox{dim }X = n}\)
To aby sprawdzić czy \(\displaystyle{ n}\) wektorów stanowi bazę to wystarczy sprawdzić jeden z warunków:
1) czy wektory są liniowo niezależne?
2) czy wektory generują przestrzeń?