równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt

[Saladyn]

hmm.. a wiesz co zrobić w takim przypadku?

Znaleźć równanie płaszczyzny H przechodzącej przez proste:

\(\displaystyle{ l_{1}: \frac{x-1}{2}= \frac{y}{1}= \frac{z-1}{2}}\)

\(\displaystyle{ l_{2}: x=-1+2t \,y=1+t \,z=2t \,t \in}\)

PS.
Już w innym poście się pytałem ale nikt nie odpowiedział to wrzuciłem tutaj

[Crizz]

Bierzesz najpierw wektor kierunkowy danych prostych, tzn. \(\displaystyle{ \vec{u}=[2,1,2]}\).
Niech szukana płaszczyzna ma równanie \(\displaystyle{ Ax+By+Cz+D=0}\), wówczas \(\displaystyle{ \vec{v}=[A,B,C]}\) jest jej wektorem normalnym.
\(\displaystyle{ \vec{u} \circ \vec{v}=0}\), czyli \(\displaystyle{ 2A+B+2C=0}\)
Bierzesz dowolny punkt z pierwszej prostej, np. \(\displaystyle{ A=(1,0,1)}\) i dowolny punkt z drugiej: \(\displaystyle{ B=(-1,1,0)}\)
Punkty A i B należą do szukanej płaszczyzny, zatem:
\(\displaystyle{ A+C+D=0, -A+B+D=0}\)

Otrzymujesz stąd ukłąd równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} A+C+D=0 \\ -A+B+D=0 \\ 2A+B+2C=0 \end{cases}}\)
Istnieje oczywiście nieskończenie wiele czwórek \(\displaystyle{ (A,B,C,D)}\), które wstawione do równania płaszczyzny sprawią, że to rónanie będzie opisywać szukaną płaszczyznę (bo równanie płaszczyzny możemy mnożyć obustronnie przez dowolną niezerową liczbę rzeczywistą). Dlatego wystarczy, że znajdziesz przykładowe rozwiązanie tego układu. Przyjmij, że \(\displaystyle{ A=1}\), otrzymasz:
\(\displaystyle{ \begin{cases} C+D=-1 \\ B+D=1 \\ B+2C=-2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=\frac{2}{3} \\ c=-\frac{4}{3} \\ d=\frac{1}{3} \end{cases}}\)
Równanie szukanej płaszczyzny ma zatem postać:
\(\displaystyle{ x+\frac{2}{3}y-\frac{4}{3}z+\frac{1}{3}=0}\)
\(\displaystyle{ 3x+2y-4z+1=0}\)

[Saladyn]

heh o kurcze! wynik się zgadza
dzięki wielkie!!!

hmm...mam jeszcze jedno(jedyne) zadanie związane z geometrią

Napisać równania prostej przechodzącej przez punkt \(\displaystyle{ P(-1,2,-2)}\) równoległe do prostej

\(\displaystyle{ l:}\)\(\displaystyle{ \begin{cases}x-y=2\\y=2z-1\end{cases}}\)

jakbyś znalazł czas i mógłbyś pomóc mi jeszcze w tym przykładzie to bym był baaardzo wdzięczny
PS.
Mam z tym czas do środy do północy...w czwartek już mi nikt nie będzie w stanie pomóc(tylko siła wyższa)

[Szemek]

Prostą \(\displaystyle{ l}\) mamy podaną jako równanie krawędziowe (przecięcie dwóch płaszczyzn)
Rozwiązując układ otrzymamy równania parametryczne:
\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x-y=2 \\ y=2z-1 \end{cases}}\)
Przyjmuję \(\displaystyle{ z}\) jako parametr:
\(\displaystyle{ z = t, \hbox{ gdzie } t \in \mathbb{R}}\)

\(\displaystyle{ l: \begin{cases} x-y=2 \\ y=2z-1 \\ z=t \end{cases} \\
l: \begin{cases} x-y=2 \\ y=-1+2t \\ z=t \end{cases} \\
l: \begin{cases} x=2+(-1+2t) \\ y=-1+2t \\ z=t \end{cases} \\
l: \begin{cases} x=1+2t \\ y=-1+2t \\ z=t \end{cases}}\)
co możemy zapisać:
\(\displaystyle{ l: (x,y,z) = (1,-1,0) + t[2,2,1]}\)
wektor równoległy do prostej \(\displaystyle{ l}\) to np. \(\displaystyle{ \vec{v} = [2,2,1]}\)
(Daleko nie trzeba szukać )

Równanie szukanej prostej:
\(\displaystyle{ k: (x,y,z) = (-1,2,-2) + s[2,2,1]}\), gdzie \(\displaystyle{ s\in \mathbb{R}}\)
co zapisujemy:
\(\displaystyle{ k: \begin{cases} x=-1+2s \\ y=2+2s \\ z=-2+s \end{cases}}\)

[Saladyn]

heh o boże jak szybko!!! DZIĘKI!!!
"równanie krawędziowe" przyda się THX!