Odległość punktu od prostej

[Saladyn]

Obliczyć odległość punktu \(\displaystyle{ P(1,2,1)}\) od prostej
\(\displaystyle{ l:\begin{cases}y=2z+1\\z=2x\end{cases}}\)

* gdy prosta jest dana w postaci parametrycznej albo kierunkowej to łatwo wyznaczyć punkty na tej prostej albo wektor kierunkowy... a co zrobić gdy mamy do czynienia z czymś takim?

[Szemek]

\(\displaystyle{ l:\begin{cases} y=2z+1 \\ z=2x \end{cases}}\)
Za parametr przyjmuję \(\displaystyle{ x}\)
\(\displaystyle{ x=t, \hbox{ gdzie } t \in \mathbb{R} \\
l: \begin{cases} x=t \\ y=2z+1 \\ z=2t \end{cases} \\
l: \begin{cases} x=t \\ y=1+4t \\ z=2t \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ l \parallel \vec{n} = [1,4,2]}\)

Równanie płaszczyzny prostopadłej do prostej \(\displaystyle{ l}\) i przechodzącej przez punkt P:
\(\displaystyle{ \pi : 1(x-1)+4(y-2)+2(z-1)=0 \\
\pi : x+4y+2z-11=0}\)

Szukam punktu wspólnego płaszczyzny \(\displaystyle{ \pi}\) oraz prostej \(\displaystyle{ l}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t \\ y=1+4t \\ z=2t \\ x+4y+2z-11=0 \end{cases} \\
\begin{cases} x=t \\ y=1+4t \\ z=2t \\ t+4+16t+4t-11=0 \end{cases} \\
\begin{cases} x=\frac{1}{3} \\ y=\frac{7}{3} \\ z=\frac{2}{3} \\ t=\frac{1}{3} \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \pi \cap l = O \left( \frac{1}{3}, \frac{7}{3}, \frac{2}{3} \right)}\)

Odległość punkt \(\displaystyle{ P}\) od prostej \(\displaystyle{ l}\) jest równa długości wektora \(\displaystyle{ \vec{PO}}\)

\(\displaystyle{ d(P,l) = |\vec{PO}| = \left| \left[ -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, -\frac{1}{3} \right] \right| = \sqrt{ \frac{(-2)^2+1^2+(-1)^2}{3^2} } = \sqrt{\frac{2}{3}}}\)

[JankoS]

Można też tak.
Jest to równanie prostej będącej częścią wspólną dwoch płaszczyzn określonych przez równania układu, zwane postacią krawędziową.
\(\displaystyle{ l:\begin{cases}-y+2z+1=0\\2x-z=0\end{cases}.}\)
Wektorem lierunkowym tej prostej jest iloczyn wektorowy wektorów normalnych (\(\displaystyle{ (0,-1,2) \ i \ (2,0,-1)}\)). Wybieram dowolny punkt (x,y,z) spełniający układ i mam postać kierunkową. Następnie odległość z wyznacznika Grama.

[Saladyn]

Gdzie robie błąd?
\(\displaystyle{ \begin{cases} y=2z+1\\z=2x\\x=t\end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=t\\y=1+4t\\z=2t\end{cases}}\)

zatem
punkt na tej prostej to np. \(\displaystyle{ K(0,1,0)}\)
wektor kierunkowy to \(\displaystyle{ v=[1,4,2]}\)

wektor \(\displaystyle{ u=KP=[1-0,2-1,1-0]=[1,1,1]}\)

odległość punktu P równa się:

\(\displaystyle{ d= \frac{ \left|v*u \right| }{\left|v\right|}}\)

czyli
\(\displaystyle{ d= \frac{ \left|[1,4,2]*[1,1,1] \right| }{\left|[1,4,2]\right|}}\)




heh wyniki to powinien wyjść:
\(\displaystyle{ \frac{1}{21}*\sqrt{1302}}\)

[Szemek]

JankoS, jak utworzyć macierz Grama dla tego zadania
pierwszy raz spotykam się z tym zagadnieniem
- z tego, co wyczytałem macierz ta wiąże się z iloczynem skalarnym wektorów, które to wypełniają odpowiednie 'komórki' macierzy

[JankoS]

Wektorem kierunkowym tej prostej jest \(\displaystyle{ \vec{a} =(1,2,2)^T}\).
Punkt \(\displaystyle{ Q=(0,1,0) \in l.}\) Stąd \(\displaystyle{ \vec{l}= \vec{q}+t \vec{a}}\). Ponadto dany punkt \(\displaystyle{ P=(1,2,1).}\)
Przy wyznaczaniu odległości liczę na dwa sposoby pole równoległoboku rozpiętego na wektorach \(\displaystyle{ \vec{p}- \vec{q}, \vec{a} .}\)
Tworzę macierz
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{c} \vec{p}- \vec{q} \\ \vec{a} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1&1&1\\1&2&2\end{array}\right]}\)
\(\displaystyle{ G=A \cdot A^T=\left[\begin{array}{cc}3&5\\3&9\end{array}\right], V( \vec{p}- \vec{q}, \vec{a})= \sqrt{detG}= \sqrt{12}}\).
Z drugiej strony
\(\displaystyle{ V( \vec{p}- \vec{q}, \vec{a})=|| \vec{a}|| \cdot d=3d.}\)
\(\displaystyle{ d=\frac{2 \sqrt{3}}{3}.}\)
Tutaj macierzą Grama jest macierz G.