prezstrzenie własne przekształceń

rivariva · Post autor: **rivariva** » 7 lut 2009, o 19:29

Dopadł mnie niestety spory problem ;/

"Wyznacz i opisz wszystkie przestrzenie własne przekształcenia o macierzy:
(1 0 1 0)
(0 1 0 1)
(0 0 2 0)
(0 0 0 2)"

wiadomo, wyznaczam własnosci wlasne, wektory wlasne, ale co dalej?

JankoS · Post autor: **JankoS** » 7 lut 2009, o 20:18

Chodzi chyba o podprzestrzenie wektórów własnych.
Każdej wartości własnej odpowiada zbiór wektorów własnych. Ten zbiór powiększony o wektor zerowy tworzy przestrzeń liniową. Jeżeli wartość własna jest m krotnym pierwiastkiem wielomianu charakterystycznego macierzy, to może (ale nie musi) odpowiadać jej m wymiarowa przestrzeń wektorów własnych.

rivariva · Post autor: **rivariva** » 7 lut 2009, o 20:59

wiec tak, wektory wlasne to (x1,x2,0,0) i (x1,x2,x1,x2)

zbior wektorow wlasnych o ktorych mowisz to tylko najprostsze bazy (1,1,0,0) i (1,1,1,1) czy podstawiam co chce?

jest podpunkt "znajdz jak najwiecej niezaleznych wektorow wlasnych" to sa tylko te dwa czy bedzie ich wiecej?

JankoS · Post autor: **JankoS** » 8 lut 2009, o 12:15

\(\displaystyle{ (x_1,x_2,0,0) \in Lin((1,0,0,0),\ (0,1,0,0,)) \\ (x_1,x_2,x_1,x_2) \in Lin((1,0,1,0), \ (0,1,0,1)).}\)

rivariva · Post autor: **rivariva** » 8 lut 2009, o 17:53

no dobra, baza przestrzeni własnych w tym wypadku jest równa 4, co jeśli się równa 3, jak wygląda wtedy równanie podprzestrzeni własnej?

JankoS · Post autor: **JankoS** » 8 lut 2009, o 20:32

rivariva pisze:no dobra, baza przestrzeni własnych w tym wypadku jest równa 4, co jeśli się równa 3, jak wygląda wtedy równanie podprzestrzeni własnej?

Nie rozumiem w jakim znaczeniu jest tu użyte "baza przestrzeni własnych'. Przestrzenie wektorów własnych macierzy stopnia n nie mogą generować przestrzeni liniowej.
W tym zadaniu mamy dwie dwuwymiarowe przestrzenie wektorów własnych, odpowiadające dwóm wartościom własnym.
Są macierze, które nie mają wektorów własnych, np.: taka której wielomian charakterystyczny ma postać \(\displaystyle{ (a-\lambda) ^{2n}, \ a \neq 0.}\)