Czworościan o wierzchołkach ....

farianek · Post autor: **farianek** » 6 lut 2009, o 19:02

Oblicz objętość czworościanu o wierzchołkach w punktach \(\displaystyle{ L _{1}(0,0,1), L_{2}(0,1,0),L_{3}(-1,0,1),L_{4}(1,-1,0)}\)

Nie ma chyba żadnego wzoru na V czworościanu ... mogę obliczyć jego boki, ale co dalej ? Czy ktos ma pomysł ?

Viathor · Post autor: **Viathor** » 6 lut 2009, o 19:48

Wyznaczasz sobie trzy wektory \(\displaystyle{ L_1L_2,L_1L_3}\) oraz \(\displaystyle{ L_1L_4}\) i stosujesz iloczyn mieszany czyli liczysz wyznacznik macierzy 3x3 gdzie każdy wiersz to każdy z tych wektorów\(\displaystyle{ (x,y,z)}\)

farianek · Post autor: **farianek** » 6 lut 2009, o 20:32

Ale iloczyn mieszany trójki wektorów możemy geometrycznie zinterpretować jako objętość równoległościanu, a tutaj mam czworościan.

Viathor · Post autor: **Viathor** » 6 lut 2009, o 20:49

Faktycznie, przepraszam za błąd.

Ale to mój pomysł byłby taki:

jeden z punktów przyjąć jako wierzchołek. Rzut tego punktu na płaszczyznę wyznaczoną przez dwa inne wektory będzie miejscem z którego wychodzi wysokość. Odległość tych dwóch punktów będzie wysokością. Pole trójkąta u podstawy łatwo obliczyć, no a wzór na objętość mamy ze stereometrii.

Ewentualnie na wikipedii jest wzór z wyznacznikiem macierzy.

pozdr