Proszę o sprawdzenie:
Zadanie 1.
Wykazać:
\(\displaystyle{ Lin(LinA) = LinA}\)
Niech \(\displaystyle{ A = \{v_1,v_2, ... , v_n\}}\)
\(\displaystyle{ Lin(LinA) = Lin( \{ \alpha_1v_1 + \alpha_2v_2 + ... + \alpha_nv_n \ : \alpha_i \in \mathbb{R} \} ) = \\
= \{ \beta_1\alpha_1v_1 + \beta_2\alpha_2v_2 + ... + \beta_n\alpha_nv_n : \beta_i\alpha_i \in \mathbb{R} \} = \\
= \{ \gamma_1v_1 + \gamma_2v_2 + ... + \gamma_nv_n : \gamma_i \in \mathbb{R} \} = LinA}\)
Zadanie 2.
Zbadać liniową niezależność zbioru funkcji:
\(\displaystyle{ A = \{1, sinx, cosx \}}\)
Zadanie to zostało rozwiązane na ćwiczeniach w ten sposób:
\(\displaystyle{ \forall_{x}}\) ma zachodzić \(\displaystyle{ \alpha_1+\alpha_2sinx + \alpha_3cosx = 0}\)
\(\displaystyle{ x = 0 \Rightarrow \ \alpha_1+\alpha_3 = 0 \\
x= \frac{\pi}{2} \Rightarrow \ \alpha_1+\alpha_2 = 0 \\
x = -\frac{\pi}{2} \Rightarrow \ \alpha_1-\alpha_2 = 0}\)
Z tego otrzymujemy, że \(\displaystyle{ \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = 0}\)
Jeśli to rozwiązanie jest poprawne, to co się dzieje, gdy
\(\displaystyle{ x = \pi \Rightarrow \ 1 - 1 = 0}\) , dla \(\displaystyle{ \alpha_1 = \alpha_2 = \alpha_3 = 1}\)
?
Więc przecież istnieje taki x, że dla niezerowych skalarów równanie zachodzi...
BUMP!
Pozdrawiam.