Sprawdzić czy układ równań jest układem Cramera

[Trampek]

Mamy dany układ równań:

\(\displaystyle{ \left\{\begin{array}{l} px+2y-3z+t=1\\x-py+4z+t=1\\x+y-2z+t=-1\\x+y-2z+2t=0 \end{array}}\)

Dla jakiego p układ ten będzie układem Cramera?

[Dedemonn]

Oblicz wyznacznik główny (raz z Laplacka i potem Sarrusem), czyli

\(\displaystyle{ W = \begin{vmatrix} p & 2 & -3 & 1 \\ 1 & -p & 4 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 2 \end{vmatrix}}\)

Otrzymasz wielomian o zmiennej p. Wyznacz te wartości p, dla których wielomian jest różny od 0.
Dla tych wartości układ jest układem Cramera.


Pozdrawiam.

[Trampek]

Mógłbyś to zrobić dalej bo wychodzi mi wielomian stopnia drugiego i z tego delta ujemna, coś zrypałem...

[Dedemonn]

Czemu zrypałeś?

\(\displaystyle{ A = \begin{vmatrix} p & 2 & -3 & 1 \\ 1 & -p & 4 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 2 \end{vmatrix} = W_4-W_3 = \begin{vmatrix} p & 2 & -3 & 1 \\ 1 & -p & 4 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = \mbox{Laplacek względem W_4} = (-1)^8 \cdot \begin{vmatrix} p & 2 & -3 \\ 1 & -p & 4 \\ 1 & 1 & -2 \end{vmatrix}}\)

\(\displaystyle{ detA= 2p^2-3+8-3p-4p+4 = 2p^2-7p+9}\)

\(\displaystyle{ \Delta = 49 - 72 < 0}\)

Zatem \(\displaystyle{ \forall_{p \in \mathbb{R} }\ detA \neq 0}\) (bo jest \(\displaystyle{ >0}\)).

Zatem dla każdej wartości parametru p układ jest układem Cramera.


Pzdr.

[Trampek]

Dzięki