Jądro, obrazy i bazy przekształceń liniowych

[natalia2007]

Wyznaczyć jądro, obrazy i ich bazy podanych przekształceń liniowych
\(\displaystyle{ L:R ^{3} \rightarrow R ^{4} L(x,y,z)=(2x-y+z,x+2y-z,-x+3y-2z,8x+y+z)}\)

[MarcinDudek]

Jądro przekształcenia jest to przeciwobraz wektora zerowego czyli dla \(\displaystyle{ f:V \rightarrow L}\) jest to taki wektor z przestrzeni V którego wartość po przekształceniu jest równa zeru f(v)=0. Czyli
\(\displaystyle{ \vec{v}=(x,y,z)\\
f(\vec{v})=(2x-y+z,x+2y-z,-x+3y-2z,8x+y+z)=(0,0,0,0)\\
\begin{cases} 2x-y+z=0\\ x+2y-z=0\\ -x+3y-2z=0\\8x+y+z=0\end{cases}\\
\begin{cases} x=\alpha \\ y=-3\alpha\\z=-5\alpha \end{cases}\\
KerL=\{(\alpha,-3\alpha,-5\alpha):\alpha\in\mathbb R\} = lin\{(1,-3,-5)\}}\)
\(\displaystyle{ L(x,y,z)=x(2,1,-1,8)+y(-1,2,3,1)+z(1,-1,-2,1)\\
ImL=lin\{(2,1,-1,8),(-1,2,3,1),(1,-1,-2,1)\}}\)
dimImL=2 z Tw. że wymiar przestrzeni = wymiar obrazu+wymiar jądra.