Uklad rownan metoda eliminacji Gaussa

[patgaw]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x + 2y + 3z = 6\\ 2x +3y - z =4 \\ 3x +y -4z = 0 \end{cases}}\)

[agulka1987]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x + 2y + 3z = 6\\ 2x +3y - z =4 \\ 3x +y -4z = 0 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2&3 \left|6\\2&3&-1 \left|4\\3&1&-4 \left|0\end{bmatrix}}\)w2+w1*(-2), w3+w1*(-3)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&2&3 \left|6\\0&-1&-7 \left|-8\\0&-5&-13 \left|-18\end{bmatrix}}\) w1+w2*(2), w3+w2*(-5)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&-11 \left|-10\\0&-1&-7 \left|-8\\0&0&22 \left|22\end{bmatrix}}\) w3*(1/22)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&-11 \left|-10\\0&-1&-7 \left|-8\\0&0&1 \left|1\end{bmatrix}}\) w1+w3*(11), w2+w3*(7)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&0 \left|1\\0&-1&0 \left|-1\\0&0&1 \left|1\end{bmatrix}}\) w2*(-1)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix}1&0&0 \left|1\\0&1&0 \left|1\\0&0&1 \left|1\end{bmatrix}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} x=1 \\ y=1\\ z=1 \end{cases}}\)

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+2y+3z=6 \\ 2x+3y-z=4\\3x+y-4z=0 \end{cases}}\)
Pomnóżmy pierwsze równanie przez 2 a następnie odejmijmy pierwsze równanie od drugiego
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+4y+6z=12 \\ 2x+3y-z=4\\3x+y-4z=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+2y+3z=6 \\ \quad -y-7z=-8\\3x+y-4z=0 \end{cases}}\)
Pomnóżmy pierwsze równanie przez 3 a następnie odejmijmy pierwsze równanie od trzeciego
\(\displaystyle{ \begin{cases} 3x+6y+9z=18 \\ \quad -y-7z=-8\\3x+y-4z=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+2y+3z=6 \\ \quad -y-7z=-8\\\quad -5y-13z=-18 \end{cases}}\)
Pomnóżmy drugie równanie przez 5 a następnie odejmijmy drugie równanie od trzeciego
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+2y+3z=6 \\ \quad -5y-35z=-40\\\quad -5y-13z=-18 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} x+2y+3z=6 \\ \quad y+7z=8\\\quad \quad 22z=22 \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}z=1 \\y=8-7 \\x=6-3-2 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases}z=1 \\y=1 \\x=1 \end{cases}}\)-- 3 lutego 2009, 15:26 --Załóżmy że masz kilka układów równań o tej samej macierzy głównej
Chcesz także użyc metody eliminacji Gaussa

Otóż za pomocą metody eliminacji Gaussa obliczasz macierz odwrotną

\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{c c c c c c}
1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\
2 & 3 & -1 & 0 & 1 & 0\\
3 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{c c c c c c}
-2 & -4 & -6 & -2 & 0 & 0\\
2 & 3 & -1 & 0 & 1 & 0\\
3 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{c c c c c c}
1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & -7 & -2 & 1 & 0\\
3 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{c c c c c c}
-3 & -6 & -9 & -3 & 0 & 0\\
0 & -1 & -7 & -2 & 1 & 0\\
3 & 1 & -4 & 0 & 0 & 1
\end{array}
\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{c c c c c c}
1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\
0 & -1 & -7 & -2 & 1 & 0\\
0 & -5 & -13 & -3 & 0 & 1
\end{array}
\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{c c c c c c}
1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\
0 & 5 & 35 & 10 & -5 & 0\\
0 & -5 & -13 & -3 & 0 & 1
\end{array}
\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{c c c c c c}
1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 7 & 2 & -1 & 0\\
0 & 0 & 22 & 7 & -5 & 1
\end{array}
\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{c c c c c c}
1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\
0 & -22 & -154 & -44 & 22 & 0\\
0 & 0 & 154 & 49 & -35 & 7
\end{array}
\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{c c c c c c}
1 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0\\
0 & -22 & 0 & 5 & -13 & 7\\
0 & 0 & 22 & 7 & -5 & 1
\end{array}
\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{c c c c c c}
-22 & -44 & -66 & -22 & 0 & 0\\
0 & -22 & 0 & 5 & -13 & 7\\
0 & 0 & 66 & 21 & -15 & 3
\end{array}
\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{c c c c c c}
-22 & -44 & 0 & -1 & -15 & 3\\
0 & -22 & 0 & 5 & -13 & 7\\
0 & 0 & 22 & 7 & -5 & 1
\end{array}
\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{c c c c c c}
-22 & -44 & 0 & -1 & -15 & 3\\
0 & 44 & 0 & -10 & 26 & -14\\
0 & 0 & 22 & 7 & -5 & 1
\end{array}
\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{c c c c c c}
-22 & 0 & 0 & -11 & 11 & -11\\
0 & 22 & 0 & -5 & 13 & -7\\
0 & 0 & 22 & 7 & -5 & 1
\end{array}
\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{c c c c c c}
22 & 0 & 0 & 11 & -11 & 11\\
0 & 22 & 0 & -5 & 13 & -7\\
0 & 0 & 22 & 7 & -5 & 1
\end{array}
\right]}\)
\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{c c c c c c}
1 & 0 & 0 & \frac{11}{22} & \frac{-11}{22} & \frac{11}{22}\\
0 & 1 & 0 & \frac{-5}{22} & \frac{13}{22} & \frac{-7}{22}\\
0 & 0 & 1 & \frac{7}{22} & \frac{-5}{22} & \frac{1}{22}
\end{array}
\right]}\)
Macierz odwrotna

\(\displaystyle{ \left[
\begin{array}{c c c}
\frac{11}{22} & \frac{-11}{22} & \frac{11}{22}\\
\frac{-5}{22} & \frac{13}{22} & \frac{-7}{22}\\
\frac{7}{22} & \frac{-5}{22} & \frac{1}{22}
\end{array}
\right]}\)

\(\displaystyle{ x=\frac{66-44}{22}=1}\)
\(\displaystyle{ y=\frac{-30+52}{22}=1}\)
\(\displaystyle{ z=\frac{42-20}{22}=1}\)

x- mnożymy pierwszy wiersz macierzy odwrotnej przez kolumnę wyrazów wolnych
y- mnożymy drugi wiersz macierzy odwrotnej przez kolumnę wyrazów wolnych
z- mnożymy trzeci wiersz macierzy odwrotnej przez kolumnę wyrazów wolnych