Macierz przekształcenia w bazach kanonicznych

[becca]

Witam. Mam problem z jednym zadaniem, które ostatnio pojawiło się na kolokwium i które mogę ponownie zobaczyć na egzaminie. Dlatego byłabym bardzo wdzięczna za pomoc.

Dane jest przekształcenie liniowe T: \(\displaystyle{ R ^{2} \rightarrow R ^{3}}\) takie, że T(2,1)=(2,0,-2), T(1,3)=(3,1,0). Wyznaczyć macierz tego przekształcenia w bazach kanonicznych. Wyznaczyć możliwe złożenia przekształcenia T z przekształceniem S:\(\displaystyle{ R ^{2} \rightarrow R ^{2}}\), którego reprezentacja macierzowa w bazach kanonicznych ma postać As=\(\displaystyle{ \begin{vmatrix} 2&-1\\3&0\end{vmatrix}}\)

Z góry dziękuję za jakiekolwiek naprowadzenie, jak mogę rozwiązać takie zadanie.

[madziara]

Nie jestem pewna czy to rozwiązanie jest dobre, bo my do tej pory wyznaczaliśmy macierz znając wzór przekształcenia. Wydaję mi się, że można to tak zrobić:
Baza kanoniczna \(\displaystyle{ R^2}\) skłąda się z wektorów \(\displaystyle{ (0,1),(1,0)}\), musimy obliczyć wartości odwzorowania T tych wektorów: \(\displaystyle{ T(1,0)=T\left(\frac{3}{5}*(2,1)-\frac{1}{5}*(1,3)\right)=\frac{3}{5}*T(2,1)-\frac{1}{5}*T(1,3)=\left(\frac{6}{5},0,-\frac{6}{5}\right)-\left(\frac{3}{5},\frac{1}{5},0\right)=\left(\frac{3}{5},-\frac{1}{5},{-\frac{6}{5}\right) \\
T(0,1)=T\left(-\frac{1}{5}*(2,1)+\frac{2}{5}*(1,3)\right)=\left(-\frac{2}{5},0,\frac{2}{5}\right)+\left(\frac{6}{5},\frac{2}{5},0\right)=\left(\frac{4}{5},\frac{2}{5},\frac{2}{5}\right)}\)
Macierz odwzorowania liniowego będzie składała się ze współrzędnych tych wektorów, bo w \(\displaystyle{ R^3}\) mamy bazę kanoniczną:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}
\frac{3}{5} & \frac{4}{5}\\
-\frac{1}{5}&\frac{2}{5} \\
-\frac{6}{5}&\frac{2}{5}\end{array}
\right]}\)
niestety tych złożeń juz nie umiem zrobić:(

[becca]

Bardzo dziękuję za pomoc