Układ równań liniowych

methadone · Post autor: **methadone** » 2 lut 2009, o 13:44

Mam problem z układami równań liniowych. Zupełnie nie rozumiem metody ich rozwiązywania innej niż metoda wyznaczników (Cramera). Nauczyłem się potem na kilku przykładach metody eliminacji Gauss'a, lecz po pierwsze nie jest to metoda, którą stosował wykładowca (a wiadomo jak to jest z nimi na egzaminach) a po drugie nie sprawdza się ona zbytnio do układów, które są na egzaminie gdyż zwykle są to 4 równania z współczynnikami przy niewiadomych: \(\displaystyle{ 1}\) lub \(\displaystyle{ -1}\).
Nie umiem teraz podobnego przykładu znaleźć.

Ale powiedzmy że mamy taki:

\(\displaystyle{ x - 2y + z = 3}\)
\(\displaystyle{ x + 3y - z = 1}\)
\(\displaystyle{ 3x + 4y - z = 5}\)

Jak się do tego zabrać?

Niestety muszę tego się na jutro nauczyć

MarcinDudek · Post autor: **MarcinDudek** » 2 lut 2009, o 14:09

Sprawa jest prosta, budujesz macierz współczynnikiów rozszerzoną o wyniki czyli:

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-2&1& | 3\\1&3&-1& | 1\\3&4&-1& | 5\end{bmatrix}}\)

Teraz trzeba sprowadzić tą macierz do postaci schodkowej czyl odejmujemy wiersz 1 od drugiego i 1 od potrojonego 1.

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-2&1& | 3\\0&5&-2& | -2\\0&10&-4& | -4\end{bmatrix}}\)

następnie \(\displaystyle{ w_3-2w_2}\)

\(\displaystyle{ \begin{bmatrix} 1&-2&1& | 3\\0&5&-2& | -2\\0&0&0& | 0\end{bmatrix}}\)

Rząd macierzy wyznaczników jesr równy 2 tak jak rząd macierzy uzupełnionej o wyniki ale jest on mniejszy od ilości niewiadomych wiec z Tw. układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od (ilosc zmiennych)-(ilość równań) parametrów.
teraz za z podstawiasz parametr.

\(\displaystyle{ \begin{cases} z=\alpha \\ 5y-2\alpha=-2\\x-2y+ \alpha =3 \end{cases}}\)

i teraz tylko wyznaczasz x i y oraz piszesz że \(\displaystyle{ \alpha\in\mathbb{R}}\)

Dedemonn · Post autor: **Dedemonn** » 2 lut 2009, o 14:10

Jeśli macierz współczynników jest kwadratowa, wtedy sprawa jest jasna - liczymy wyznacznik główny i, jeśli jest różny od zera, stosujemy wzory Cramera.

Jeśli nie jest kwadratowa, to z układem równań wiążemy macierz rozszerzoną (razem ze współczynnikami), wg przykładu :

\(\displaystyle{ A|B = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 1 & | & 3 \\ 1 & 3 & -1 & | & 1 \\ 3 & 4 & -1 & | & 5 \end{bmatrix}}\)

I przy pomocy operacji elementarnych (bez operacji na kolumnach !) staramy się tak wyzerować w każdym wierszu współczynniki przy niewiadomych, aby uzyskać rozwiązanie (bądź sprzeczność).

MarcinDudek · Post autor: **MarcinDudek** » 2 lut 2009, o 14:11

Przestawiać kolumny też możesz, ale musisz pamiętać że zamieniłeś zmienne miejscami;)

methadone · Post autor: **methadone** » 2 lut 2009, o 14:26

staramy się tak wyzerować w każdym wierszu współczynniki przy niewiadomych, aby uzyskać rozwiązanie (bądź sprzeczność).

No i w tym własnie jest problem. Próbowałem parę przykładów i pogubiłem się.
Poza tym na pewno będziemy mieli przykład, tak jak pisałem, że wspólczynniki przy niewiadomych będą -1 lub 1.
Macie może jakiś taki przykład? W Krysickim nie ma niestety, a podręczników do algebry nie mam.

MarcinDudek · Post autor: **MarcinDudek** » 2 lut 2009, o 14:36

To że współczyniki będą 1, -1 czy 0 to nic nie zmiena tak samo tworzysz macierz A|U i doprowadzasz do postaci schodkowej.
Przykłady:

\(\displaystyle{ \begin{cases} x+2y-z-t=1 \\ x+y+z+3t=2 \\ 3x+5y-z+t=3 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ \begin{cases} 2x+y-z+t=1 \\ y+3z-3t=1 \\ x+y+z-t=1 \end{cases}}\)

Zadania pochodzą z książki Jurlewicz, Skoczylas, Algebra liniowa I, polecam część przykłady i zadania.

methadone · Post autor: **methadone** » 2 lut 2009, o 16:02

Teraz trzeba sprowadzić tą macierz do postaci schodkowej czyl odejmujemy wiersz 1 od drugiego i 1 od potrojonego 1.

To jest reguła? Zawsze w ten sposób postępujemy?

Dedemonn · Post autor: **Dedemonn** » 2 lut 2009, o 17:26

Nie reguła, ale tak też jest wygodnie. Zerujesz tyle elementów w każdym wierszu macierzy ile to możliwe, a przy okazji te wyzerowane i prawie wyzerowane przestawiasz na spód.