Baza - zadanie

[Novero]

Witam

Otóż nie mam pomysłu na zadanie:


1) Wyznacz bazę nastepującej podprzestrzeni liniowej w przestrzeni \(\displaystyle{ C^4}\).

Y={\(\displaystyle{ (x_1, x_2, x_3, x_4) \in C^4 : x_1+x_2-2ix_3=0 , ix_2-x_4=0}\)}.


2)
Niech\(\displaystyle{ R_2[x]}\) oznacza zbior wszystkich wielomianow stopnia co najwyzej 2, o wspolczynnikach z R. Dla \(\displaystyle{ w \in R_2[x]}\) przyjmujemy :
T(w)(x)=(2x-1)w'(x).
Znależć macierz przekształcenia liniowego T w bazie \(\displaystyle{ x^2,x,1}\), czy T jest różnowartościowe ?


3)
W zaleznosci od parametru \(\displaystyle{ a \in R}\) wyznacz rzad macierzy:
\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}1&a&1\\a&1&a\\2&2&2\end{array}\right]}\).

Będę wdzięczna za pomoc.

[Tibo]

1)
\(\displaystyle{ x_{2} = \frac{ x_{4} }{i}}\)
\(\displaystyle{ x_{1} = \frac{ -x_{4} }{i} + 2i x_{3}}\)
Zatem

\(\displaystyle{ Y=lin( (\frac{-1}{i}, \frac{1}{i}, 0, 1), (2i,0,1,0))}\)

3)

rz(A) = 1 gdy a=1 {bo wszystkie kolumny takie same, czyli za pomocą kombinacji liniowej jednej z nich da się pozostałe dwie przedstawić}
rz(A) = 2 gdy a \(\displaystyle{ \neq}\) 1 { 1. i 3. kolumna jest tama sama, wiec są zalezne liniowo oraz na pewno są niezależne z 2 kolumną, dlatego mamy dwie kolumny niezależne liniowo}

PS tak mi się wydaje, głowy za to uciąc sobie nie dam

[Dedemonn]

Aby w 3-cim nie iść za domysłami, to robimy tak:

- liczymy minor st. 3 z macierzy
- wyznaczamy wartości a, dla których się zeruje
- dla a, dla których minor jest różny od zera rząd macierzy wynosi 3
- aby sprawdzić jaki jest rząd dla wartości a, dla których minor = 0, podstawiamy po kolei te a do macierzy i liczymy rząd (macierz duża nie jest, więc dużo to nie zajmuje)


Pzdr.