Unormowanie wektorow

[myky]

Witam mam pytanie.

W zadaniu chodzi o to by znalezc baze ortogonalna podanej nizej przestrzeni euklidesowej i podac wspolrzedne wskazanych wektorow w bazie:

\(\displaystyle{ E = \{(x,y,z,t) \in E^{4} : 4x - z = 2y - 3z + 2t = 0\}, \vec{v} = (1,-3,4,9);}\)

Podpowiedz:
Najpierw wyznacz zwykle bazy rozwiazanych przestrzeni liniowych, a nastepnie zortogonalizuj je i unormuj.

Wiem jak zrobić pierwsza część, czyli:

\(\displaystyle{ E = \left\{\left(x,y,4x,6x-y\right): x,y \in \RR\right\} = lin \{(1,0,4,6),(0,1,0,-1)\}.}\)
Baza przestrzeni E stanowią wiec wektory \(\displaystyle{ \vec{u}_{1} = (0,1,0,-1), \vec{u}_{2} = (1,0,4,6).}\) Po ich zortogonalizowaniu otrzymujemy bazę ortogonalna \(\displaystyle{ \vec{v}_{1} = \vec{u}_{1}, \vec{v}_{2} = (1,3,4,3)}\) i teraz mam problem, nie wiem jak unormować je oraz znaleźć bazę ortonormalną.

Niby wynik jest następującym, ale nie wiem dlaczego:

\(\displaystyle{ \vec{e}_{1} = (0, \sqrt{ \frac{1}{2} }, 0, - \sqrt{ \frac{1}{2} }), \vec{e}_{2} = ( \sqrt{ \frac{1}{35} },3 \sqrt{ \frac{1}{35} }, 4 \sqrt{ \frac{1}{35} }, 3 \sqrt{ \frac{1}{35} }).}\)

Moze ktoś mi to wytłumaczyć?

[madaf007]

odświeże temat, bo też trafiłem na to zadanie i również nie mogę znaleźć odpowiedzi jak unormować te wektory.

[nestii]

Wiem, że temat stary, ale sama na początku tego szukałam i tu trafiłam, więc odpowiadam wrazie gdyby ktoś szukał tego teraz. Mamy wektor \(\displaystyle{ (0,1,0,-1).}\)
Norma z tego wektora wynosi \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\)dlatego, że \(\displaystyle{ \sqrt{ 0^{2} + 1^{2} + 0 ^{2} + (-1) ^{2} } = \sqrt{2} .}\) Dzielimy wektor\(\displaystyle{ \frac{(0,1,0,-1)}{ \sqrt{2} }}\) i wychodzi nam unormowany wektor.