Diagonalizacja

Aeliru · Post autor: **Aeliru** » 31 sty 2009, o 22:07

Jakie są podstawowe kryteria na sprawdzenie czy dana macierz jest diagonalizowalna? Czy istnieje kryterium odnoszące się do wektorów własnych danej macierzy? Przykład:

A=\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}
4 & -5 \\
-4 & 5
\end{array}\right]}\)

Nie chce, aby ktoś to liczył wystarczy jeżeli poda kryterium.

JankoS · Post autor: **JankoS** » 31 sty 2009, o 23:58

Postać diagonalną ma macierz w bazie wektorów własnych.

Aeliru · Post autor: **Aeliru** » 1 lut 2009, o 00:13

Nie do końca jeszcze rozumiem. Czyli obliczam wartości własne, podstawiam do macierzy A i liczę odpowiednie bazy podprzestrzeni własnych, które utworzą macierz C (standardowe oznaczenie). Czy każda z macierzy C jest diagonalizowalna? Jeżeli nie to co jest kryterium? Wyznacznik macierzy C?

JankoS · Post autor: **JankoS** » 1 lut 2009, o 01:30

Nie , nie każda macierz.
W postaci diagonalnej można przedstawić tylko macierze stopnia n mające n niezależnych wektorów własnych. Takie macierze nazywa się macierzami prostej struktury.

Aeliru · Post autor: **Aeliru** » 1 lut 2009, o 12:22

Ok, juz rozumiem. Dzieki.

JankoS · Post autor: **JankoS** » 1 lut 2009, o 16:09

Pozwolę sobie jeszcze zacytować twierdzenie z książki J. Klukowski, I. Nabiałek "Algebra dla studentów":
Dla macierzy kwadratowej A stopnia n o elementach z ciała R istnieje postać diagonalna wtedy i tylko wtedy, gdy suma krotności wszystkich rzeczywistych pierwiastków wielomianu charakterystycznego wynosi n i dla każdego pierwiastka \(\displaystyle{ t_i}\) o krotności \(\displaystyle{ k_i}\) przestrzeń wektorów własnych \(\displaystyle{ N ^{(1)} _{t_i}}\) ma wymiar \(\displaystyle{ k_i.}\)