(pod)przestrzenie liniowe, zbiory liniowo niezależne

[pozone]

Oto kilka zadań z listy, którą muszę ogarnąć przez najbliższy tydzień. Za każdą wskazówkę będę wdzięczny. Nie chodzi mi o wyliczenie wszystkich zadań, ale chociaż o przykłady jak to zrobić

23. Czy \(\displaystyle{ \left\{\left( x,y \right) \in R^2 : P \right\}}\) jest podprzestrzenią liniową \(\displaystyle{ R^2}\) dla \(\displaystyle{ P}\) równego:

a) \(\displaystyle{ x=0}\)
b) \(\displaystyle{ x \neq 0}\)
c) \(\displaystyle{ xy = 0}\)
d) \(\displaystyle{ x+y=0}\)
e) \(\displaystyle{ x+y=1}\)
f) \(\displaystyle{ x^2 + y = 0}\)
g) \(\displaystyle{ x^2 + y^2 = 0}\)

24. Niech podprzestrzenie \(\displaystyle{ E, F, H \subseteq R^4}\) dane będą przez:
E = span{ (1 0 1 1),(1 1 0 1),(0 1 -1 0) }
F = span{ (2 1 1 2),(1 3 -2 1) }
H = span{ (2 1 1 2),(1 1 1 0) }

Czy: a) E = H b) F = H c) E = F

25. Czy poniższe zbiory są liniowo niezależne i czy są bazami we wskazanych rzeczywistych przestrzeniach liniowych:
a) \(\displaystyle{ \varnothing \textrm{w} R^5}\)

b) \(\displaystyle{ \varnothing \textrm{w} R^0}\)

c) \(\displaystyle{ \left\{ 0 \right\} \textrm{w} R}\)

d) \(\displaystyle{ \left\{ (1\quad 2 \quad3),(0\quad 1 \quad2) \right\} \textrm{w} R^3}\)

e) \(\displaystyle{ \left\{ (1 \quad2 \quad3),(0\quad 1 \quad2),(0 \quad0 \quad1) \right\} \textrm{w} R^3}\)

f) \(\displaystyle{ \left\{ (1\quad 1 \quad0\quad 1),(1 \quad0 \quad0 \quad1),(1\quad 2 \quad1\quad 3) \right\} \textrm{w} R^4}\)

26. Czy podane niżej zbiory są liniowo niezależne w R[x]
a) \(\displaystyle{ \{1,x,x^2\}}\)
b) \(\displaystyle{ \{x+3,2x-5,x^2\}}\)
c) \(\displaystyle{ \{x^2+1,x^2+x,x+1,x^2\}}\)
d) \(\displaystyle{ \{x^k : k \in N\}}\)

27. Niech V oznacza przestrzeń wszystkich funkcji zespolonych na prostej. Czy podane niżej zbiory funkcji są liniowo niezależne w V (wyrażenie \(\displaystyle{ f(x)}\) zmiennej \(\displaystyle{ x}\) jest rozumiane niżej jako nazwa funkcji \(\displaystyle{ x \to f(x)}\))

a) \(\displaystyle{ \{1, \sin{x}, \cos{x} \}}\)
b) \(\displaystyle{ \{ 1,(\sin{x})^2, (\cos{x})^2 \}}\)
c) \(\displaystyle{ \{ 1, \sin{x}, (\sin{x})^2 \}}\)
d) \(\displaystyle{ \{ 1, e^{ix}, e^{-ix} \}}\)

28. Wskazać bazę i wyliczyć wymiar podprzestrzeni \(\displaystyle{ W \subseteq R^4}\) gdzie W =
a) span{ (1 2 3 4),(2 3 4 5),(3 4 5 6) },
b) span{ (1 1 1 1),(1 0 1 0),(2 1 2 1),(0 1 1 1) },
c) span{ (1 0 1 0),(1 2 3 4),(1 1 2 2),(2 1 3 2),(1 1 1 1) }

[Dedemonn]

1 przykład z zadania 23) - reszta analogicznie.

a) \(\displaystyle{ A = \{\ (x,y)\in \mathbb{R}^2 : x=0\ \}}\)

Aby A była podprzestrzenią \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) muszą zachodzić warunki:

\(\displaystyle{ (1)\ \forall_{v_1,v_2\in A}\ \ (v_1+v_2) \in A \\
(2)\ \forall_{\alpha\in \mathbb{R} , v\in A}\ \ (\alpha \cdot v) \in A}\)

Czyli mamy mieć zamkniętość na działania dodawnia wektorów i mnożenia przez skalar. Więc sprawdzamy :

1) Bierzemy 2 dowolne wektory \(\displaystyle{ v_1 , v_2 \in A}\). Wtedy :

\(\displaystyle{ v_1+v_2 = (x_1,y_1) + (x_2,y_2) = (x_1+x_2, y_1+y_2)}\)

Aby powstały wektor należał do przestrzeni A musi zachodzić warunek:

\(\displaystyle{ x_1 + x_2 = 0 \ \iff \ 0+0 = 0}\)

Zatem \(\displaystyle{ (v_1+v_2)\in A}\)

2) Bierzemy dow. wektor \(\displaystyle{ v\in A}\) oraz skalar \(\displaystyle{ \alpha \in \mathbb{r}}\). Sprawdzamy:

\(\displaystyle{ \alpha \cdot v = \alpha \cdot (x, y) = (\alpha \cdot x, \alpha \cdot y)}\)

Więc sprawdzamy:

\(\displaystyle{ \alpha \cdot x = 0\ \iff \ \alpha \cdot 0 = 0 \ \iff \ 0 = 0}\)


Oba warunki są spełnione, więc przestrzeń \(\displaystyle{ A}\) jest podprzestrzenią \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) ( \(\displaystyle{ A < \mathbb{R}^2}\) ).


Pozdrawiam.